Некоторые теоретико-структурные вопросы теории групп

Изучение свойств группы, ее строения можно проводить, опираясь на те или иные исходные принципы. Обычно из свойств элементов извлекают некоторые свойства группы. В ряде исследований, однако, решаются, по существу, обратные задачи: в них изучают влияние свойств множества всех подгрупп группы на свойства ее элементов. Тем самым выясняют, насколько полно теоретико-множественные операции, заданные на множестве всех подгрупп группы $G$ (множество это образует структуру $S(G)$), определяют свойства самой групповой операции.
Исследование связей между строением группы и строением структуры ее подгрупп становится ныне одним из ведущих среди общих подходов к изучению природы группы. Наряду со многими интересными результатами, полученными в этой области, до сих пор остаются не решенными многие важные конкретные проблемы. Трудности их решения велики и преодоление их требует, по-видимому, новых идей и нового математического аппарата.
Настоящий обзор (без претензий на исчерпывающую полноту) посвящен так называемым структурным вопросам теории групп и охватывает результаты, полученные за последние годы. Основное внимание уделяется здесь бесконечным группам. Описанию строения различных классов конечных групп, их структурным изоморфизмам, гомоморфизмам и многим смежным вопросам посвящена содержательная монография Судзуки [1]. Общий обзор результатов (полученных до 1961 г.) для бесконечных разрешимых, нильпотентных и радикальных групп содержится в статье П. Г. Конторовича, А. С. Пекелис, А. И. Старостина [2] и в работе Б. И. Плоткина [3]. Наконец, основные понятия (теории групп см. в [4], [5], теории структур – в [6]) и краткий обзор результатов в этой области содержатся в новом издании монографии А. Г. Куроша [5]. В такой ситуации естественны некоторые “пересечения” настоящей и упомянутых выше статей. Это оправдывается желанием получить обзор по возможности полным.