Успехи математических наук
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Подписка
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


УМН, 1968, том 23, выпуск 4(142), страницы 67–116 (Mi umn5654)  

Эта публикация цитируется в 51 научных статьях (всего в 52 статьях)

Различные определения производной в линейных топологических пространствах

В. И. Авербух, О. Г. Смолянов


Аннотация: Основная цель этой статьи – дать обзор существующих определений операций дифференцирования в линейных топологических пространствах (л.т.п.) с указанием связей между ними.
К настоящему времени предложено свыше двух десятков определений производной отображения одного л.т.п. в другое. Формулировки этих определений внешне совершенно различны, причем авторы, предлагавшие их, как правило, не заботились об установлении связи вновь вводимых определений с ранее известными. Все это создает впечатление некоторого хаоса.
Два существующих обзора по теории дифференцирования в л.т.п. не меняют этого впечатления. Первый из них, написанный Хайерсом, является частью его статьи по л.т.п. вышедшей в 1945 г., и уже устарел. Второй, принадлежащий Келлеру, был опубликован в 1964 г. Однако этот обзор не полон. Во-первых, в нем перечислены далеко не все известные к тому времени определения; во-вторых, рассматриваются лишь локально выпуклые л.т.п.; в-третьих, связи между теми определениями, которые приводятся,описаны недостаточно полно.
Оказывается – и это действительно замечательный факт, – что на самом деле все предложенные до сих пор определения производной можно разбить на небольшое число групп, состоящих из эквивалентных определений, причем существует простая схема взаимосвязей этих групп. Данная статья непосредственно примыкает к нашей статье [1]. Однако основная цель последней была иная – дать систематическое изложение дифференциального исчисления в л.т.п. Это изложение ведется на основе одного определения производной, представлявшегося нам наиболее удачным. (Впрочем, многие результаты не зависят от того, какое именно определение кладется в основу.) Лишь во введении к статье [1] дан краткий перечень некоторых определений производной и приведена (без доказательств) таблица связей между ними. Таким образом, настоящая статья и статья [1] взаимно дополняют друг друга и в совокупности составляют единое целое.
Общее представление о содержании статьи можно получить из оглавления. Сделаем несколько замечаний.
Вначале дается исторический очерк развития понятия производной с 1887 г. по настоящее время. Затем приводится список всех предлагавшихся определений производной (таблица 1). Далее эти определения разбиваются на группы эквивалентных друг другу определений. Перечень неэквивалентных определений приводится в таблице 2. Взаимоотношения между ними указаны на схеме. Таблица 3 содержит перечень контрпримеров, показывающих, что никакие импликации, кроме указанных в таблице, не имеют места.
Все рассматриваемые в статье л.т.п. предполагаются отделимыми л.т.п, над полем $\mathbf R$ вещественных чисел.
Для чтения статьи достаточно, помимо сведений, даваемых на первых трех курсах университета, знания самых начальных фактов из теории л.т.п., например, в объеме гл. 9 книги Канторовича и Акилова (1959 г.).

Полный текст: PDF файл (5583 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 1968, 23:4, 67–113

Реферативные базы данных:

MSC: 54F05, 26A24
Поступила в редакцию: 12.02.1968

Образец цитирования: В. И. Авербух, О. Г. Смолянов, “Различные определения производной в линейных топологических пространствах”, УМН, 23:4(142) (1968), 67–116; Russian Math. Surveys, 23:4 (1968), 67–113

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{AveSmo68}
\by В.~И.~Авербух, О.~Г.~Смолянов
\paper Различные определения производной в~линейных топологических пространствах
\jour УМН
\yr 1968
\vol 23
\issue 4(142)
\pages 67--116
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/umn5654}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=246118}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0179.19103|0196.15702}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 1968
\vol 23
\issue 4
\pages 67--113
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM1968v023n04ABEH003770}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/umn5654
  • http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v23/i4/p67

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
    Цикл статей

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. В. И. Авербух, О. Г. Смолянов, “Дополнение к статье “Различные определения производной в линейных топологических пространствах””, УМН, 23:5(143) (1968), 223–224  mathnet  mathscinet  zmath
    2. М. Ф. Сухинин, “О локальной обратимости дифференцируемого отображения”, УМН, 25:5(155) (1970), 249–250  mathnet  mathscinet  zmath
    3. H. Ratschek, G. Schröder, “Über die Ableitung von intervallwertigen Funktionen”, Computing, 7:3-4 (1971), 172  crossref  mathscinet  zmath
    4. Yamamuro S., “On the semigroup of Hadamard differentiable mappings”, J. Austral. Math. Soc., 14:3 (1972), 329  crossref  mathscinet  zmath
    5. Lloyd J.W., Yamamuro S., “Inductive and projective limits of smooth topological vector spaces”, Bull. Austral. Math. Soc., 6:2 (1972), 227  crossref  mathscinet  zmath
    6. С. М. Семенов, “О полиномиальном приближении симметрических функций на гильбертовом пространстве”, Функц. анализ и его прил., 6:1 (1972), 87–88  mathnet  mathscinet  zmath; S. M. Semenov, “Polynomial approximation of symmetric functions in a Hilbert space”, Funct. Anal. Appl., 6:1 (1972), 80–81  crossref
    7. С. М. Семенов, “О симметрических функциях класса $D_u^2(H)$”, Функц. анализ и его прил., 6:3 (1972), 85–86  mathnet  mathscinet  zmath; S. M. Semenov, “On symmetric functions of class $D_u^2(H)$”, Funct. Anal. Appl., 6:3 (1972), 248–249  crossref
    8. М. П. Кац, “Счетная аддитивность производных от “достаточно гладких” мер”, УМН, 28:3(171) (1973), 183–184  mathnet  mathscinet  zmath
    9. Lloyd J., “Two topics in the differential calculus on topological linear spaces”, Bull. Austral. Math. Soc., 9:2 (1973), 305  crossref
    10. David F. Findley, “Polyhomogeneous maps and best local approximations of degree α”, manuscripta math, 15:1 (1975), 1  crossref  mathscinet  zmath
    11. J. Borwein, “Weak Tangent Cones and Optimization in a Banach Space”, SIAM J Control Optim, 16:3 (1978), 512  crossref  mathscinet  zmath
    12. М. Ф. Сухинин, “О дифференцируемости решения обыкновенного дифференциального уравнения по начальному условию”, Матем. сб., 106(148):3(7) (1978), 440–454  mathnet  mathscinet  zmath; M. F. Sukhinin, “On the differentiability with respect to the initial condition of a solution to an ordinary differential equation”, Math. USSR-Sb., 35:1 (1979), 115–129  crossref  isi
    13. Ekkehard Sachs, “Differentiability in optimization theory1”, Mathematische Operationsforschung und Statistik. Series Optimization, 9:4 (1978), 497  crossref
    14. Jean-Paul Penot, “Calcul sous-differentiel et optimisation”, Journal of Functional Analysis, 27:2 (1978), 248  crossref
    15. Massam H.M., “Optimality conditions for a cone-convex programming problem”, J. Austral. Math. Soc., 27:2 (1979), 141  crossref  mathscinet
    16. Е. Я. Антоновский, “Изучение негладких отображений гильбертовых пространств методами гладкого анализа”, УМН, 35:3(213) (1980), 134–137  mathnet  mathscinet  zmath  adsnasa; E. Ya. Antonovskii, “The study of non-smooth maps in Hilbert spaces by methods of smooth analysis”, Russian Math. Surveys, 35:3 (1980), 161–165  crossref  isi
    17. Fitzpatrick S., “Metric projections and the differentiability of distance functions”, Bull. Austral. Math. Soc., 22:2 (1980), 291  crossref  mathscinet  zmath
    18. J-B. Hiriart-Urruty, “Mean value theorems in nonsmooth analysis”, Numerical Functional Analysis and Optimization, 2:1 (1980), 1  crossref
    19. Jean Paul Penot, “A characterization of tangential regularity”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 5:6 (1981), 625  crossref
    20. Jean-Paul Penot, “Differentiability of Relations and Differential Stability of Perturbed Optimization Problems”, SIAM J Control Optim, 22:4 (1984), 529  crossref  mathscinet  zmath  isi
    21. Martin Schechter, “Differentiation in abstract spaces”, Journal of Differential Equations, 55:3 (1984), 330  crossref
    22. W. Esty, R. Gillette, M. Hamilton, D. Taylor, “Asymptotic distribution theory of statistical functionals: The compact derivative approach for robust estimators”, Ann Inst Statist Math, 37:1 (1985), 109  crossref  mathscinet  zmath  isi
    23. А. Ю. Хренников, “Функциональный суперанализ”, УМН, 43:2(260) (1988), 87–114  mathnet  mathscinet  zmath  adsnasa; A. Yu. Khrennikov, “Functional superanalysis”, Russian Math. Surveys, 43:2 (1988), 103–137  crossref  isi
    24. Veikko Seppälä, “On nonlinear calculus in normed linear spaces endowed with an additional binary operation”, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 12:2 (1988), 185  crossref
    25. Sharp B., “New directions in convex analysis: the differentiability of convex functions on topological linear spaces”, Bull. Austral. Math. Soc., 41:2 (1990), 333  crossref  zmath  isi
    26. Sharp B., “The differentiability of convex functions on topological linear spaces”, Bull. Austral. Math. Soc., 42:2 (1990), 201–213  crossref  mathscinet  zmath  isi
    27. Maria Gieraltowska-Kedzierska, F.S Van Vleck, “Fréchet differentiability of regular locally Lipschitzian functions”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 159:1 (1991), 147  crossref
    28. Roberto Luiz Soraggi, “The -problem for a (0, 2)-form in a D.F.N. space”, Journal of Functional Analysis, 98:2 (1991), 380  crossref
    29. Maria H Papatriantafillou, “Differentiation in modules over topological ∗-algebras”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 170:1 (1992), 255  crossref
    30. Alexander Shapiro, “Existence and Differentiability of Metric Projections in Hilbert Spaces”, SIAM J Optim, 4:1 (1994), 130  crossref  mathscinet  zmath  isi
    31. Jean Marion, Thierry Robart, “Regular Fréchet-Lie groups of invertible elements in some inverse limits of unital involutive Banach algebras”, Georgian Math J, 2:4 (1995), 425  crossref  mathscinet  zmath
    32. М. О. Смолянова, “Непрерывно дифференцируемая разрывная функция на пространстве $D$”, Изв. РАН. Сер. матем., 59:5 (1995), 197–202  mathnet  mathscinet  zmath; M. O. Smolyanova, “A continuously differentiable discontinuous function on the space $D$”, Izv. Math., 59:5 (1995), 1077–1082  crossref  isi
    33. A. Zaffaroni, M. Glover, “Vector subdifferentials via recession mappings∗∗this research was supported by grants from M.U.R.S.T (Itall) and the australian research council.$ef:”, Optimization, 39:3 (1997), 203  crossref
    34. Roberto Luiz Soraggi, “Local Factorization of Differential Forms on Fréchet–Schwartz Spaces”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 209:2 (1997), 365  crossref
    35. M. H. Papatriantafillou, “On the de Rham complex in abstract spaces”, Journal of Mathematical Sciences (New York), 95:6 (1999), 2681  crossref  mathscinet  zmath
    36. M.C. Abbati, A. Manià, “On differential structure for projective limits of manifolds”, Journal of Geometry and Physics, 29:1-2 (1999), 35  crossref
    37. О. Г. Смолянов, С. А. Шкарин, “Комплексная дифференцируемость по Гато и непрерывность”, Изв. РАН. Сер. матем., 68:6 (2004), 157–168  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; O. G. Smolyanov, S. A. Shkarin, “Gateaux complex differentiability and continuity”, Izv. Math., 68:6 (2004), 1217–1227  crossref  isi
    38. Bertram W., “Differential calculus over general base fields and rings”, Expo. Math., 22:3 (2004), 213–282  crossref  mathscinet  zmath  isi
    39. Helge Glöckner, “Hölder continuous homomorphisms between infinite-dimensional Lie groups are smooth”, Journal of Functional Analysis, 228:2 (2005), 419  crossref
    40. G. Buskes, A. G. Kusraev, “Representation and extension of orthoregular bilinear operators”, Владикавк. матем. журн., 9:1 (2007), 16–29  mathnet  mathscinet  elib
    41. В. П. Кондаков, “О дифференцируемости отображений и строении пространств голоморфных функций на бесконечномерных пространствах”, Владикавк. матем. журн., 9:2 (2007), 9–21  mathnet  mathscinet  elib
    42. M.J. Chasco, E. Martín-Peinador, V. Tarieladze, “A class of angelic sequential non-Fréchet–Urysohn topological groups”, Topology and its Applications, 154:3 (2007), 741  crossref
    43. Anatolij Plichko, “Diagonal sequence property in Banach spaces with weaker topologies”, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 350:2 (2009), 838  crossref
    44. И. Водова, “HL-дифференцируемость эквивалентна MB$^\sharp$-дифференцируемости”, Матем. заметки, 87:6 (2010), 825–829  mathnet  crossref  mathscinet; I. Vodova, “$\mathrm{HL}$-Differentiability is Equivalent to $\mathrm{MB}^\sharp$-Differentiability”, Math. Notes, 87:6 (2010), 807–810  crossref  isi
    45. П. Войчак, “Описание свойств HL-дифференцируемости с помощью касательного конуса”, Матем. заметки, 89:2 (2011), 214–225  mathnet  crossref  mathscinet; P. Vojčák, “A Characterization of Hyers–Lang Differentiability in Terms of a Tangent Cone”, Math. Notes, 89:2 (2011), 214–223  crossref  isi
    46. Скорнякова А.Ю., “Генезис понятия «производная» на основе e-learning”, Ярославский педагогический вестник, 3:2 (2011), 7–7  elib
    47. Т. Кондерла, “Один способ построения выпуклых функций”, Матем. заметки, 91:1 (2012), 74–78  mathnet  crossref  mathscinet  elib; T. Konderla, “A Construction of Convex Functions”, Math. Notes, 91:1 (2012), 65–68  crossref  isi
    48. В. И. Авербух, Т. Кондерла, “Непрерывная выпуклая $\mathrm{MS}$-дифференцируемая функция не обязана быть $\mathrm{HL}$-дифференцируемой”, Матем. заметки, 91:2 (2012), 163–171  mathnet  crossref  mathscinet  elib; V. I. Averbukh, T. Konderla, “Continuous Convex $\mathrm{MS}$-Differentiable Function Need not Be $\mathrm{HL}$-Differentiable”, Math. Notes, 91:2 (2012), 153–160  crossref  isi
    49. Benjamin Doyon, “Calculus on manifolds of conformal maps and CFT”, J. Phys. A: Math. Theor, 45:31 (2012), 315202  crossref
    50. И. Водова, “Цепное правило для конических производных”, Матем. заметки, 93:4 (2013), 509–529  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  elib; I. Vodova, “Chain Rule for Conic Derivatives”, Math. Notes, 93:4 (2013), 523–538  crossref  isi
    51. Holger Dette, Matthias Guhlich, Jan Nagel, “Distributions on matrix moment spaces”, Journal of Multivariate Analysis, 2014  crossref
    52. Bogachev V., Smolyanov O., “Topological Vector Spaces and Their Applications”, Topological Vector Spaces and Their Applications, Springer Monographs in Mathematics, Springer, 2017, 1–456  crossref  isi
  • Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Просмотров:
    Эта страница:1364
    Полный текст:782
    Литература:39
    Первая стр.:1
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021