RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Подписка
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



УМН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


УМН, 1968, том 23, выпуск 6(144), страницы 51–116 (Mi umn5684)  

Эта публикация цитируется в 43 научных статьях (всего в 43 статьях)

Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи

А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров


Аннотация: Пусть $\mathfrak{X}$ вещественное линейное топологическое пространство, $\mathfrak{Y}$ его сопряженное. Через $\langle x,y\rangle$ обозначим значение линейного функционала $y\in\mathfrak{Y}$ на элементе $x\in\mathfrak{X}$. Для вещественных функций $f(x)$ на $\mathfrak{X}$ введем две операции – обычной суммы
$$ f_1(x)+f_2(x) $$
и конволюции:
$$ f_1\oplus f_2(x)=\inf_{x_1+x_2=x}(f_1(x_1)+f_2(x_2)), $$
а также – преобразование, сопоставляющее функции $f(x)$ двойственную ей функцию, заданную на $\mathfrak{Y}$ и получаемую из $f(x)$ по формуле:
$$ f^*(y)=\sup_{x\in\mathfrak{X}}(\langle x,Y\rangle-f(x)). $$
Имеют место следующие утверждения:
1) Операция * действует инволютивно:
$$ f^{**}=f $$
тогда и только тогда, когда $f(x)$ – выпуклая и полунепрерывная снизу на $\mathfrak{X}$ функция.
2) $(f_1\oplus f_2)^*=F_1^*+f_2^*$.
3) При некоторых дополнительных предположениях
$$ (f_1+f_2)^*=f_1^*\oplus f_2^*. $$
Эти теоремы были доказаны в конечномерном пространстве Фенхелем [93], а в общем случае – Моро [60].
Глава I посвящена доказательству этих теорем и их обобщениям.
Глава II посвящена приложению их к математическому программированию и вариационному исчислению. Там доказываются весьма общие теоремы двойственности математического программирования и теоремы о седловых точках. Затем там строятся конструкции, приводящие к расширениям задач оптимального управления и доказывается. теорема существования для таких задач.
В главе III методами теории двойственности выпуклых функций исследуются задачи о приближении элемента $x\in\mathfrak{X}$ и множества $C\subset\mathfrak{X}$ аппроксимирующим множеством $A\subset\mathfrak{X}$. В конце главы выводятся теоремы двойственности для некоторых геометрических характеристик множеств в $\mathfrak{X}$.

Полный текст: PDF файл (6124 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Англоязычная версия:
Russian Mathematical Surveys, 1968, 23:6, 53–124

Реферативные базы данных:

УДК: 517.51+519.3+519.95
MSC: 46A20, 46A03, 46A55, 52A40, 51M16

Образец цитирования: А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров, “Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи”, УМН, 23:6(144) (1968), 51–116; Russian Math. Surveys, 23:6 (1968), 53–124

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{IofTik68}
\by А.~Д.~Иоффе, В.~М.~Тихомиров
\paper Двойственность выпуклых функций и~экстремальные задачи
\jour УМН
\yr 1968
\vol 23
\issue 6(144)
\pages 51--116
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/umn5684}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=288601}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0167.42202|0191.13101}
\transl
\jour Russian Math. Surveys
\yr 1968
\vol 23
\issue 6
\pages 53--124
\crossref{https://doi.org/10.1070/RM1968v023n06ABEH001251}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/umn5684
  • http://mi.mathnet.ru/rus/umn/v23/i6/p51

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. В. М. Тихомиров, “Наилучшие методы приближения и интерполирования дифференцируемых функций в пространстве $C_{[-1,1]}$”, Матем. сб., 80(122):2(10) (1969), 290–304  mathnet  mathscinet  zmath; V. M. Tikhomirov, “Best methods of approximation and interpolation of differentiable functions in the space $C_{[-1,1]}$”, Math. USSR-Sb., 9:2 (1969), 275–289  crossref
    2. А. Д. Иоффе, “Субдифференциалы ограничений выпуклых функций”, УМН, 25:4(154) (1970), 181–182  mathnet  mathscinet  zmath
    3. Л. В. Канторович, “Методы оптимизации и математические модели экономики”, УМН, 25:5(155) (1970), 107–109  mathnet  mathscinet  zmath; L. V. Kantorovich, “Methods of optimization and mathematical models in economics”, Russian Math. Surveys, 25:5 (1970), 105–107  crossref
    4. А. М. Вершик, “Несколько замечаний о бесконечномерных задачах линейного программирования”, УМН, 25:5(155) (1970), 117–124  mathnet  mathscinet  zmath; A. M. Vershik, “Some remarks on the infinite-dimensional problems of linear programming”, Russian Math. Surveys, 25:5 (1970), 117–124  crossref
    5. В. Л. Макаров, А. М. Рубинов, “Супер линейные точечно-множественные отображения и модели экономической динамики”, УМН, 25:5(155) (1970), 125–169  mathnet  mathscinet  zmath; V. L. Makarov, A. M. Rubinov, “Superlinear point-set maps and models of economic dynamics”, Russian Math. Surveys, 25:5 (1970), 125–169  crossref
    6. Г. Ш. Рубинштейн, “Двойственность в математическом программировании и некоторые вопросы выпуклого анализа”, УМН, 25:5(155) (1970), 171–201  mathnet  mathscinet  zmath; G. Sh. Rubinshtein, “Duality in mathematical programming and some problems of convex analysis”, Russian Math. Surveys, 25:5 (1970), 171–200  crossref
    7. В. Д. Мильман, “Геометрическая теория пространств Банаха. Часть II. Геометрия единичной сферы”, УМН, 26:6(162) (1971), 73–149  mathnet  mathscinet  zmath; V. D. Milman, “Geometric theory of Banach spaces. Part II. Geometry of the unit sphere”, Russian Math. Surveys, 26:6 (1971), 79–163  crossref
    8. В. И. Аркин, В. Л. Левин, “Выпуклость значений векторных интегралов, теоремы измеримого выбора и вариационные задачи”, УМН, 27:3(165) (1972), 21–77  mathnet  mathscinet  zmath; V. I. Arkin, V. L. Levin, “Convexity of values of vector integrals, theorems on measurable choice and variational problems”, Russian Math. Surveys, 27:3 (1972), 21–85  crossref
    9. С. С. Кутателадзе, А. М. Рубинов, “Двойственность Минковского и ее приложения”, УМН, 27:3(165) (1972), 127–176  mathnet  mathscinet  zmath; S. S. Kutateladze, A. M. Rubinov, “Minkowski duality and its applications”, Russian Math. Surveys, 27:3 (1972), 137–191  crossref
    10. Н. П. Корнейчук, “Неравенства для дифференцируемых периодических функций и наилучшее приближение одного класса функций другим”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 36:2 (1972), 423–434  mathnet  mathscinet  zmath; N. P. Korneichuk, “Inequalities for differentiable periodic functions and best approximation of one class of functions by another”, Math. USSR-Izv., 6:2 (1972), 417–428  crossref
    11. А. Д. Иоффе, “Выпуклые функции, связанные с вариационными задачами и проблема абсолютного минимума”, Матем. сб., 88(130):2(6) (1972), 194–210  mathnet  mathscinet  zmath; A. D. Ioffe, “Convex functions occurring in variational problems and the absolute minimum problem”, Math. USSR-Sb., 17:2 (1972), 191–208  crossref
    12. Н. П. Корнейчук, “О методах исследования экстремальных задач теории наилучшего приближения”, УМН, 29:3(177) (1974), 9–42  mathnet  mathscinet  zmath; N. P. Korneichuk, “On extremal problems in the theory of best approximation”, Russian Math. Surveys, 29:3 (1974), 7–43  crossref
    13. Р. С. Исмагилов, “Поперечники множеств в линейных нормированных пространствах и приближение функций тригонометрическими многочленами”, УМН, 29:3(177) (1974), 161–178  mathnet  mathscinet  zmath; R. S. Ismagilov, “Diameters of sets in normed linear spaces and the approximation of functions by trigonometric polynomials”, Russian Math. Surveys, 29:3 (1974), 169–186  crossref
    14. В. Л. Левин, “Выпуклые интегральные функционалы и теория лифтинга”, УМН, 30:2(182) (1975), 115–178  mathnet  mathscinet  zmath; V. L. Levin, “Convex integral functionals and the theory of lifting”, Russian Math. Surveys, 30:2 (1975), 119–184  crossref
    15. В. Е. Майоров, “Дискретизация задачи о поперечниках”, УМН, 30:6(186) (1975), 179–180  mathnet  mathscinet  zmath
    16. Daniel McFadden, “Tchebyscheff bounds for the space of agent characteristics”, Journal of Mathematical Economics, 2:2 (1975), 225  crossref
    17. М. А. Красносельский, А. В. Покровский, “О разрывном операторе суперпозиции”, УМН, 32:1(193) (1977), 169–170  mathnet  mathscinet  zmath
    18. Б. Ш. Мордухович, “Аппроксимация и принцип максимума в негладких задачах оптимального управления”, УМН, 32:4(196) (1977), 263–264  mathnet  mathscinet  zmath
    19. Е. С. Левитин, А. А. Милютин, Н. П. Осмоловский, “Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями”, УМН, 33:6(204) (1978), 85–148  mathnet  mathscinet  zmath; E. S. Levitin, A. A. Milyutin, N. P. Osmolovskii, “Conditions of high order for a local minimum in problems with constraints”, Russian Math. Surveys, 33:6 (1978), 97–168  crossref
    20. Allan Pinkus, “Matrices and n-Widths”, Linear Algebra and its Applications, 27 (1979), 245  crossref
    21. В. И. Бердышев, “Непрерывность многозначного отображения, связанного с задачей минимизации функционала”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 44:3 (1980), 483–509  mathnet  mathscinet  zmath; V. I. Berdyshev, “Continuity of a multivalued mapping connected with the problem of minimizing a functional”, Math. USSR-Izv., 16:3 (1981), 431–456  crossref  isi
    22. Gluskin E., “on Some Finite Dimensional Problems of the Theory of Widths”, no. 3, 1981, 5–10  isi
    23. Robert Whitley, “Markov and Bernstein's inequalities, and compact and strictly singular operators”, Journal of Approximation Theory, 34:3 (1982), 277  crossref
    24. Н. П. Корнейчук, “С. М. Никольский и развитие исследований по теории приближения функций в СССР”, УМН, 40:5(245) (1985), 71–131  mathnet  mathscinet  zmath  adsnasa; N. P. Korneichuk, “S. M. Nikol'skii and the development of research on approximation theory in the USSR”, Russian Math. Surveys, 40:5 (1985), 83–156  crossref  isi
    25. И. И. Джиоева, “О некоторых формулах двойственности для дифференциальных форм на компактных римановых многообразиях”, УМН, 40:6(246) (1985), 139–140  mathnet  mathscinet  adsnasa; I. I. Dzhioeva, “On some duality formulae for differential forms on compact Riemannian manifolds”, Russian Math. Surveys, 40:6 (1985), 121–122  crossref
    26. А. Я. Азимов, “Двойственность многокритериальных задач”, Матем. сб., 131(173):4(12) (1986), 519–535  mathnet  mathscinet  zmath; A. Ya. Azimov, “Duality of multiobjective problems”, Math. USSR-Sb., 59:2 (1988), 515–531  crossref
    27. Hidefumi Kawasaki, “An envelope-like effect of infinitely many inequality constraints on second-order necessary conditions for minimization problems”, Math Program, 41:1-3 (1988), 73  crossref  mathscinet  zmath  isi
    28. S.L Zabell, “Mosco convergence in locally convex spaces”, Journal of Functional Analysis, 110:1 (1992), 226  crossref
    29. A. Jourani, “Regularity and strong sufficient optimality conditions in differentiable optimization problems”, Numerical Functional Analysis and Optimization, 14:1-2 (1993), 69  crossref
    30. A. Jourani, “Metric regularity and second-order necessary optimality conditions for minimization problems under inclusion constraints”, J Optim Theory Appl, 81:1 (1994), 97  crossref  mathscinet  zmath  isi
    31. Farhad Hüsseinov, “Interpretation of Aubin's fuzzy coalitions and their extension”, Journal of Mathematical Economics, 23:5 (1994), 499  crossref
    32. С. Н. Кудрявцев, “Поперечники классов гладких функций”, Изв. РАН. Сер. матем., 59:4 (1995), 81–104  mathnet  mathscinet  zmath; S. N. Kudryavtsev, “Diameters of classes of smooth functions”, Izv. Math., 59:4 (1995), 741–764  crossref  isi
    33. В. С. Климов, “О топологических характеристиках негладких функционалов”, Изв. РАН. Сер. матем., 62:5 (1998), 117–134  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; V. S. Klimov, “Topological characteristics of non-smooth functionals”, Izv. Math., 62:5 (1998), 969–984  crossref  isi
    34. А. И. Козко, А. В. Рождественский, “О неравенстве Джексона с обобщенным модулем непрерывности”, Матем. заметки, 73:5 (2003), 783–788  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; A. I. Kozko, A. V. Rozhdestvenskii, “On Jackson's Inequality for Generalized Moduli of Continuity”, Math. Notes, 73:5 (2003), 736–741  crossref  isi
    35. А. И. Козко, А. В. Рождественский, “О неравенстве Джексона в $L_2$ с обобщенным модулем непрерывности”, Матем. сб., 195:8 (2004), 3–46  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; A. I. Kozko, A. V. Rozhdestvenskii, “On Jackson's inequality for a generalized modulus of continuity in $L_2$”, Sb. Math., 195:8 (2004), 1073–1115  crossref  isi
    36. Е. М. Скориков, “Информационный колмогоровский поперечник и некоторые точные неравенства между поперечниками”, Изв. РАН. Сер. матем., 71:3 (2007), 173–196  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  elib; E. M. Skorikov, “The information Kolmogorov width and some exact inequalities between widths”, Izv. Math., 71:3 (2007), 603–627  crossref  isi  elib
    37. А. Ю. Попов, “Явный вид решения задачи об управлении колебаниями с ограниченным ресурсом управления при условии несоизмеримости частот”, Автомат. и телемех., 2008, № 4, 59–71  mathnet  mathscinet  zmath  elib; A. Yu. Popov, “Explicit solution for the incommensurable frequency oscillation control problem under limited resource control”, Autom. Remote Control, 69:4 (2008), 597–608  crossref  isi  elib
    38. Alexander A. Sherstov, “The Pattern Matrix Method”, SIAM J. Comput, 40:6 (2011), 1969  crossref
    39. A.A.. Sherstov, “The Intersection of Two Halfspaces Has High Threshold Degree”, SIAM J. Comput, 42:6 (2013), 2329  crossref
    40. Ф. С. Стонякин, “Антикомпакты и их приложения к аналогам теорем Ляпунова и Лебега в пространствах Фреше”, Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, 53, РУДН, М., 2014, 155–176  mathnet; F. S. Stonyakin, “Anti-compacts and their applications to analogs of Lyapunov and Lebesgue theorems in Frechét spaces”, Journal of Mathematical Sciences, 218:4 (2016), 526–548  crossref
    41. Ф. С. Стонякин, “Секвенциальные аналоги теорем Ляпунова и Крейна–Мильмана в пространствах Фреше”, Труды Крымской осенней математической школы-симпозиума, СМФН, 57, РУДН, М., 2015, 162–183  mathnet; F. S. Stonyakin, “Sequential analogues of the Lyapunov and Krein–Milman theorems in Fréchet spaces”, Journal of Mathematical Sciences, 225:2 (2017), 322–344  crossref
    42. Ю. В. Малыхин, К. С. Рютин, “Произведение октаэдров плохо приближается в метрике $\ell_{2,1}$”, Матем. заметки, 101:1 (2017), 85–90  mathnet  crossref  mathscinet  elib; Yu. V. Malykhin, K. S. Ryutin, “The Product of Octahedra is Badly Approximated in the $\ell_{2,1}$-Metric”, Math. Notes, 101:1 (2017), 94–99  crossref  isi
    43. Н. Темиргалиев, А. Ж. Жубанышева, “Компьютерный (вычислительный) поперечник в контексте общей теории восстановления”, Изв. вузов. Матем., 2019, № 1, 89–75  mathnet
  • Успехи математических наук Russian Mathematical Surveys
    Просмотров:
    Эта страница:1415
    Полный текст:507
    Литература:72
    Первая стр.:5
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019