Об асимптотических “собственных функциях” задачи Коши для одного нелинейного параболического уравнения

В работе изучается асимптотическое ($t\to+\infty$) поведение решений задачи Коши для полулинейного параболического уравнения
$$ u_t=\Delta u-u^\beta,\quad t>0, x\in R^N;\qquad u(0,x)=u_0(x)\geqslant0,\quad x\in R^N, $$
где $\beta=\mathrm{const}>1$, $u_0(x)\to0$ при $|x|\to+\infty$. Установлено существование бесконечного (континуального) набора различных автомодельных решений вида $u_A(t,x)=(T+t)^{-1/(\beta-1)}\theta_A(\xi)$, $\xi=|x|/(T+t)^{1/2}$, где функция $\theta_A>0$ удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению. Определены условия асимптотической устойчивости этих решений. Показано, что при $\beta\geqslant1+2/N$ существуют решения задачи, поведение которых при $t\to+\infty$ описывается приближенными автомодельными решениями (п.а.р.) $u_a(t,x)$, которые в случае $\beta>1+2/N$ совпадают с семейством автомодельных решений уравнения теплопроводности $(u_a)_t=\Delta u_a$, а при $\beta=1+2/N$ и $u_0\in L^1(R^N)$ п.а.р. имеет вид $u_a=[(T+t)\ln(T+t)]^{-N/2}c_N\exp(-|x|^2/4(T+t))$, где $c_N=(N/2)^{N/2}(1+2/N)^{N^2/4}$.
Рисунков: 2.
Библиография: 78 названий.