RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Подписка
Правила для авторов
Лицензионный договор
Загрузить рукопись
Историческая справка

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Матем. сб.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Матем. сб., 2002, том 193, номер 7, страницы 3–36 (Mi msb665)  

Эта публикация цитируется в 49 научных статьях (всего в 49 статьях)

Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий

В. И. Богачевa, М. Рёкнерb, В. Штаннатb

a Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова
b Bielefeld University

Аннотация: Пусть $M$ – полное связное риманово многообразие размерности $d$ и $L$ – эллиптический дифференциальный оператор второго порядка на $M$, который имеет следующее представление в локальных координатах: $L=a^{ij}\partial_{x_i}\partial_{x_j}+b^i\partial_{x_i}$, где $a^{ij}\in H^{p,1}_{loc}$, $b^i\in L^p_{\mathrm{loc}}$ для некоторого $p>d$, а матрица $(a^{ij})$ невырождена. Цель работы состоит в изучении проблемы единственности решения для эллиптического уравнения $L^*\mu=0$ для вероятностных мер $\mu$, которое понимается в слабом смысле: $\displaystyle\int L\varphi f d\mu=0$ для всех $\varphi\in C_0^\infty(M)$. Кроме того, исследуется единственность инвариантных вероятностных мер для соответствующих полугрупп $(T_t^\mu)_{t\geqslant 0}$, порождаемых оператором $L$. Доказано, что если вероятностная мера $\mu$ на $M$ удовлетворяет уравнению $L^*\mu=0$ и $(L-I)(C^\infty_0(M))$ плотно в $L^1(M,\mu)$, то $\mu$ – единственное решение этого уравнения в классе вероятностных мер. В работе построены примеры (даже с $a^{ij}=\delta^{ij}$ и гладкими $b^i$), когда уравнение $L^*\mu=0$ имеет более одного решения в классе вероятностных мер. Наконец, показано, что если $p>d+2$, то полугруппа $(T_t)_{t\geqslant 0}$, порожденная $L$, имеет не более одной инвариантной вероятностной меры.
Библиография: 46 названий.

DOI: https://doi.org/10.4213/sm665

Полный текст: PDF файл (465 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Англоязычная версия:
Sbornik: Mathematics, 2002, 193:7, 945–976

Реферативные базы данных:

УДК: 517.956+517.98+519.2
MSC: 58J05, 47F05
Поступила в редакцию: 08.01.2002

Образец цитирования: В. И. Богачев, М. Рёкнер, В. Штаннат, “Единственность решений эллиптических уравнений и единственность инвариантных мер диффузий”, Матем. сб., 193:7 (2002), 3–36; V. I. Bogachev, M. Röckner, W. Stannat, “Uniqueness of solutions of elliptic equations and uniqueness of invariant measures of diffusions”, Sb. Math., 193:7 (2002), 945–976

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{BogRocSta02}
\by В.~И.~Богачев, М.~Рёкнер, В.~Штаннат
\paper Единственность решений эллиптических уравнений
и~единственность инвариантных мер диффузий
\jour Матем. сб.
\yr 2002
\vol 193
\issue 7
\pages 3--36
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/msb665}
\crossref{https://doi.org/10.4213/sm665}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1936848}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1055.58009}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=14363201}
\transl
\by V.~I.~Bogachev, M.~R\"ockner, W.~Stannat
\paper Uniqueness of solutions of elliptic equations and
uniqueness of invariant measures of diffusions
\jour Sb. Math.
\yr 2002
\vol 193
\issue 7
\pages 945--976
\crossref{https://doi.org/10.1070/SM2002v193n07ABEH000665}
\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000178959400001}
\scopus{https://www.scopus.com/record/display.url?origin=inward&eid=2-s2.0-0036662252}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/msb665
  • https://doi.org/10.4213/sm665
  • http://mi.mathnet.ru/rus/msb/v193/i7/p3

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. В. И. Богачев, М. Рёкнер, “Об $L^p$-единственности симметричных диффузионных операторов на римановых многообразиях”, Матем. сб., 194:7 (2003), 15–24  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; V. I. Bogachev, M. Röckner, “On $L^p$-uniqueness of symmetric diffusion operators on Riemannian manifolds”, Sb. Math., 194:7 (2003), 969–978  crossref  isi  elib
    2. Bogachev V.I., Da Prato G., Röckner M., Sobol Z., “Global gradient bounds for dissipative diffusion operators”, C. R. Math. Acad. Sci. Paris, 339:4 (2004), 277–282  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    3. Bogachev V.I., Röckner M., Wang Feng-Yu, “Invariance implies Gibbsian: Some new results”, Comm. Math. Phys., 248:2 (2004), 335–355  crossref  mathscinet  zmath  adsnasa  isi  elib  scopus  scopus
    4. Bogachev V.I., Da Prato G., Röckner M., “Existence of solutions to weak parabolic equations for measures”, Proc. London Math. Soc. (3), 88:3 (2004), 753–774  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    5. В. И. Богачев, Н. В. Крылов, М. Рекнер, “Регулярность и глобальные оценки плотностей инвариантных мер диффузионных процессов”, Докл. РАН, 405:5 (2005), 583–587  mathnet  mathscinet  zmath  elib; V. I. Bogachev, N. V. Krylov, M. Röckner, “Regularity and global bounds of densities of invariant measures of diffusion processes”, Dokl. Math., 72:3 (2005), 934–938  mathscinet  zmath  isi  elib
    6. Bogachev V.I., Krylov N.V., Röckner M., “Elliptic equations for measures: Regularity and global bounds of densities”, J. Math. Pures Appl. (9), 85:6 (2006), 743–757  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    7. Bogachev V.I., Da Prato G., Röckner M., Stannat W., “Uniqueness of solutions to weak parabolic equations for measures”, Bull. Lond. Math. Soc., 39 (2007), 631–640  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus  scopus  scopus
    8. В. И. Богачев, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, “Оценки плотностей стационарных распределений и переходных вероятностей диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 52:2 (2007), 240–270  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  elib; V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Estimates of densities of stationary distributions and transition probabilities of diffusion processes”, Theory Probab. Appl., 52:2 (2008), 209–236  crossref  isi  elib
    9. С. В. Шапошников, “О неединственности решений эллиптических уравнений для вероятностных мер”, Докл. РАН, 420:3 (2008), 320–323  mathnet  mathscinet  zmath  elib; S. V. Shaposhnikov, “The nonuniqueness of solutions to elliptic equations for probability measures”, Dokl. Math., 77:3 (2008), 401–403  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    10. Shaposhnikov S.V., “On nonuniqueness of solutions to elliptic equations for probability measures”, J. Funct. Anal., 254:10 (2008), 2690–2705  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    11. Bogachev V.I., Da Prato G., Röckner M., “On parabolic equations for measures”, Comm. Partial Differential Equations, 33:3 (2008), 397–418  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    12. В. И. Богачев, М. Рёкнер, С. В. Шапошников, “Положительные плотности переходных вероятностей диффузионных процессов”, Теория вероятн. и ее примен., 53:2 (2008), 213–239  mathnet  crossref; V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “Positive Densities of Transition Probabilities of Diffusion Processes”, Theory Probab. Appl., 53:2 (2009), 194–215  crossref  isi  elib
    13. В. И. Богачев, Н. В. Крылов, М. Рёкнер, “Эллиптические и параболические уравнения для мер”, УМН, 64:6(390) (2009), 5–116  mathnet  crossref  mathscinet  adsnasa  elib; V. I. Bogachev, N. V. Krylov, M. Röckner, “Elliptic and parabolic equations for measures”, Russian Math. Surveys, 64:6 (2009), 973–1078  crossref  isi  elib
    14. Bogachev V.I., Korolev A.V., Pilipenko A.Yu., “Non Uniform Averagings in the Ergodic Theorem for Stochastic Flows”, Doklady Mathematics, 81:3 (2010), 422–425  crossref  zmath  isi  elib  scopus
    15. Arapostathis A., Borkar V.S., “Uniform Recurrence Properties of Controlled Diffusions and Applications to Optimal Control”, SIAM Journal on Control and Optimization, 48:7 (2010), 4181–4223  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus  scopus  scopus
    16. Bogachev V., Da Prato G., Roeckner M., “Existence and uniqueness of solutions for Fokker-Planck equations on Hilbert spaces”, Journal of Evolution Equations, 10:3 (2010), 487–509  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus  scopus  scopus
    17. Bogachev V.I., Kirillov A.I., Shaposhnikov S.V., “Invariant Measures of Diffusions with Gradient Drifts”, Doklady Mathematics, 82:2 (2010), 790–793  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    18. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On uniqueness problems related to elliptic equations for measures”, J Math Sci, 2011  crossref  mathscinet  scopus  scopus  scopus
    19. Bogachev V., Da Prato G., Roeckner M., “Uniqueness for Solutions of Fokker-Planck Equations on Infinite Dimensional Spaces”, Comm Partial Differential Equations, 36:6 (2011), 925–939  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    20. Богачев В.И., Кириллов А.И., Шапошников С.В., “О вероятностных и интегрируемых решениях стационарного уравнения колмогорова”, Доклады академии наук, 438:2 (2011), 154–159  mathscinet  zmath  elib; Bogachev V.I., Kirillov A.I., Shaposhnikov S.V., “On Probability and Integrable Solutions to the Stationary Kolmogorov Equation”, Doklady Mathematics, 83:3 (2011), 309–313  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    21. С. В. Шапошников, “О единственности вероятностного решения задачи Коши для уравнения Фоккера–Планка–Колмогорова”, Теория вероятн. и ее примен., 56:1 (2011), 77–99  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  elib; S. V. Shaposhnikov, “On the uniqueness of a probabilistic solution of the Cauchy problem for the Fokker–Planck–Kolmogorov equation”, Theory Probab. Appl., 56:1 (2012), 96–115  crossref  isi  elib
    22. V. I. Bogachev, A. I. Kirillov, S. V. Shaposhnikov, “Integrable solutions of the stationary Kolmogorov equation”, Dokl. Math, 85:3 (2012), 309  crossref  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    23. А. И. Ноаров, “Стационарные диффузионные процессы с разрывными коэффициентами сноса”, Алгебра и анализ, 24:5 (2012), 141–164  mathnet  mathscinet  zmath  elib; A. I. Noarov, “Stationary diffusion processes with discontinuous drift coefficients”, St. Petersburg Math. J., 24:5 (2013), 795–809  crossref  isi
    24. Богачев В.И., Кириллов А.И., Шапошников С.В., “Интегрируемые решения стационарного уравнения колмогорова”, Доклады академии наук, 444:1 (2012), 11–11  crossref  mathscinet  zmath  elib
    25. Богачев В.И., Рëкнер М., Шапошников С.В., “О положительных и вероятностных решениях стационарного уравнения фоккера–планка–колмогорова”, Доклады Академии наук, 444:3 (2012), 245–245  mathscinet  zmath  elib; V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On positive and probability solutions to the stationary Fokker-Planck-Kolmogorov equation”, Dokl. Math, 85:3 (2012), 350  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus
    26. Steven N. Evans, Peter L. Ralph, Sebastian J. Schreiber, Arnab Sen, “Stochastic population growth in spatially heterogeneous environments”, J. Math. Biol, 66:3 (2013), 423  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus  scopus  scopus
    27. V. I. Bogachev, A. I. Kirillov, S. V. Shaposhnikov, “A stationary Fokker-Planck-Kolmogorov equation with a potential”, Dokl. Math, 89:1 (2014), 24  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus  scopus
    28. V. I. Bogachev, M. Röckner, S. V. Shaposhnikov, “On existence of Lyapunov functions for a stationary Kolmogorov equation with a probability solution”, Dokl. Math, 90:1 (2014), 424  crossref  mathscinet  zmath  scopus  scopus  scopus
    29. B.A.driana Escobedo-Trujillo, José Daniel López-Barrientos, “Nonzero-sum stochastic differential games with additive structure and average payoffs”, JDG, 1:4 (2014), 555  crossref  mathscinet  scopus  scopus  scopus
    30. V. I. Bogachev, A. Yu. Veretennikov, S. V. Shaposhnikov, “Differentiability of invariant measures of diffusions with respect to a parameter”, Dokl. Math, 91:1 (2015), 76  crossref  mathscinet  zmath  scopus  scopus  scopus
    31. Huang W., Ji M., Liu Zh., Yi Y., “Steady States of Fokker-Planck Equations: i. Existence”, J. Dyn. Differ. Equ., 27:3-4 (2015), 721–742  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus  scopus  scopus
    32. Huang W., Ji M., Liu Zh., Yi Y., “Steady States of Fokker-Planck Equations: II. Non-Existence”, J. Dyn. Differ. Equ., 27:3-4 (2015), 743–762  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus  scopus  scopus
    33. Huang W., Ji M., Liu Zh., Yi Y., “Integral Identity and Measure Estimates For Stationary Fokker-Planck Equations”, Ann. Probab., 43:4 (2015), 1712–1730  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    34. Huang W., Ji M., Liu Zh., Yi Y., “Steady States of Fokker-Planck Equations: III. Degenerate Diffusion”, J. Dyn. Differ. Equ., 28:1 (2016), 127–141  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus  scopus  scopus
    35. Huang W., Ji M., Liu Zh., Yi Y., “Stochastic Stability of Measures in Gradient Systems”, Physica D, 314 (2016), 9–17  crossref  mathscinet  zmath  isi  elib  scopus  scopus  scopus
    36. Bogachev V.I., Shaposhnikov S.V., Veretennikov A.Yu., “Differentiability of solutions of stationary Fokker–Planck–Kolmogorov equations with respect to a parameter”, Discret. Contin. Dyn. Syst., 36:7 (2016), 3519–3543  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
    37. В. И. Богачев, А. И. Кириллов, С. В. Шапошников, “Расстояния между стационарными распределениями диффузий и разрешимость нелинейных уравнений Фоккера–Планка–Колмогорова”, Теория вероятн. и ее примен., 62:1 (2017), 16–43  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  elib; V. I. Bogachev, A. I. Kirillov, S. V. Shaposhnikov, “Distances between stationary distributions of diffusions and solvability of nonlinear Fokker–Planck–Kolmogorov equations”, Theory Probab. Appl., 62:1 (2018), 12–34  crossref  isi
    38. Bogachev V.I., Shaposhnikov S.V., “Integrability and Continuity of Solutions to Double Divergence Form Equations”, Ann. Mat. Pura Appl., 196:5 (2017), 1609–1635  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
    39. Huang W., Ji M., Liu Zh., Yi Y., “Concentration and Limit Behaviors of Stationary Measures”, Physica D, 369 (2018), 1–17  crossref  mathscinet  isi  scopus  scopus  scopus
    40. Adriana Escobedo-Trujillo B., Alaffita-Hernandez A., Lopez-Martinez R., “Constrained Stochastic Differential Games With Additive Structure: Average and Discount Payoffs”, J. Dyn. Games, 5:2 (2018), 109–141  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
    41. Bogachev V.I., Krasovitskii T.I., Shaposhnikov S.V., “On Non-Uniqueness of Probability Solutions to the Two-Dimensional Stationary Fokker-Planck-Kolmogorov Equation”, Dokl. Math., 98:2 (2018), 475–479  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
    42. Duran-Olivencia M.A., Gvalani R.S., Kalliadasis S., Pavliotis G.A., “Instability, Rupture and Fluctuations in Thin Liquid Films: Theory and Computations”, J. Stat. Phys., 174:3 (2019), 579–604  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
    43. Tang W., “Exponential Ergodicity and Convergence For Generalized Reflected Brownian Motion”, Queueing Syst., 92:1-2 (2019), 83–101  crossref  mathscinet  zmath  isi
    44. Chen L., Dong Zh., Jiang J., Niu L., Zhai J., “Decomposition Formula and Stationary Measures For Stochastic Lotka-Volterra System With Applications to Turbulent Convection”, J. Math. Pures Appl., 125 (2019), 43–93  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
    45. Arapostathis A., Caffarelli L., Pang G., Zheng Y., “Ergodic Control of a Class of Jump Diffusions With Finite Levy Measures and Rough Kernels”, SIAM J. Control Optim., 57:2 (2019), 1516–1540  crossref  mathscinet  zmath  isi
    46. Ji M., Shen Zh., Yi Y., “Quantitative Concentration of Stationary Measures”, Physica D, 399 (2019), 73–85  crossref  mathscinet  isi
    47. Ji M., Shen Zh., Yi Y., “Convergence to Equilibrium in Fokker-Planck Equations”, J. Dyn. Differ. Equ., 31:3, SI (2019), 1591–1615  crossref  mathscinet  zmath  isi
    48. Krasovitskii T.I., “Degenerate Elliptic Equations and Nonuniqueness of Solutions to the Kolmogorov Equation”, Dokl. Math., 100:1 (2019), 354–357  crossref  zmath  isi
    49. Ji M., Qi W., Shen Zh., Yi Y., “Existence of Periodic Probability Solutions to Fokker-Planck Equations With Applications”, J. Funct. Anal., 277:11 (2019), UNSP 108281  crossref  mathscinet  isi
  • Математический сборник - 1992–2005 Sbornik: Mathematics (from 1967)
    Просмотров:
    Эта страница:652
    Полный текст:221
    Литература:34
    Первая стр.:1
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020