О больших уклонениях времени первого прохождения для случайного блуждания с семиэкспоненциально распределенными скачками

Пусть $\xi,\xi(1),\xi(2),…$ – независимые одинаково распределенные случайные величины такие, что $-\xi$ семиэкспоненциально, т.е. $\mathbf P(-\xi\geqslant t)=e^{-t^{\beta}L(t)}$, $\beta\in(0,1)$, $L(t)$ – медленно меняющаяся функция при $t\to\infty$, обладающая некоторыми свойствами гладкости (см. ниже). Пусть $\mathbf E\xi=0$, $\mathbf D\xi=1$, $S(k)=\xi(1)+…+\xi(k)$. Для фиксированного $d>0$ определим момент $\eta+(u)=\inf\{k\geqslant1:S(k)+kd>u\}$ первого прохождения снизу вверх неотрицательного уровня $u\geqslant0$ блужданием $S(k)+kd$ с положительным сносом $\d>0$. Доказано, что в широких предположениях при $n\to\infty$ и для $u=u(n)\in[0,dn-N_n\sqrt{n}]$ справедливо соотношение
\begin{equation*} \mathbf P(\eta_+(u)>n)\thicksim\frac{\mathbf E_{\eta_+}(u)}{n}\mathbf P(S(n)\leqslant x), \tag{0.1} \end{equation*}
где $x=u-nd<0$, произвольная фиксированная последовательность $N_n$, не превышающая $d\sqrt{n}$, стремится к $\infty$.
Условия, при которых доказано соотношение (0.1), полностью совпадают с условиями, при которых в [1] найдена асимптотика вероятности $\mathbf P(S(n)\leqslant x)$ для $x\leqslant-\sqrt{n}$ (для $x\in[-\sqrt{n},0]$ она известна из центральной предельной теоремы).