RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Тр. ИММ УрО РАН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Тр. ИММ УрО РАН, 2017, том 23, номер 3, страницы 144–158 (Mi timm1445)  

Прямая теорема в разных метриках теории приближений периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье

Н. А. Ильясов

Бакинский государственный университет

Аннотация: В статье исследуется задача о порядковой точности оценки сверху наилучшего приближения в $L_{q} (\mathbb{T})$ посредством модуля гладкости $l$-го порядка (модуля непрерывности при $l=1$) в
$$L_{p}(\mathbb{T})\colon E_{n-1}(f)_{q} \le C(l,p,q)(\textstyle\sum\limits_{\nu =n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p})^{1/q}, n\in\mathbb{N},$$
на классе $M_{p}(\mathbb{T})$ всех функций $f\in L_{p}(\mathbb{T})$, коэффициенты Фурье которых удовлетворяют условиям
$$a_{0}(f)=0, a_{n}(f)\downarrow 0, b_{n} (f)\downarrow 0 (n\uparrow \infty), где l\in\mathbb{N}, 1<p<q<\infty, l>\sigma=1/p-1/q, \mathbb{T}=(-\pi,\pi].$$
В случае $l$=1 и $p\ge 1$ указанная оценка впервые установлена П. Л. Ульяновым при доказательстве неравенства разных метрик для модулей непрерывности, а в случае $l>1$ и $p\ge 1$ в силу $L_{p}$-аналога неравенства Д. Джексона — С. Б. Стечкина доказательство этой оценки сохраняется. Ниже сформулированы основные результаты, полученные в данной работе. Для того, чтобы функция $f\in M_{p}(\mathbb{T})$ принадлежала $L_{q}(\mathbb{T})$, где $1<p<q<\infty,$ необходимо и достаточно выполнения условия $\sum_{n=1}^{\infty}n^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/n)_{p}<\infty,$ при этом имеют место порядковые равенства
$(a) E_{n-1}(f)_{q}+n^{\sigma}\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}\asymp(\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q} (f;\pi/\nu)_{p})^{1/q},$ $n\in\mathbb{N}$;
$(b) n^{-(l-\sigma)}(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{p(l-\sigma)-1}E_{\nu-1}^{p}(f)_{q})^{1/p}\asymp (\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p})^{1/q}, n\in\mathbb{N}$.
\noindent При оценке снизу в п. $(a)$ второе слагаемое $n^{\sigma}\omega_{l}(f;\pi/n)_{p},$ в общем случае, не допускает исключения. Однако, если последовательность $\{\omega_{l}(f;\pi/n)_p\}_{n=1}^{\infty}$ либо последовательность $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ удовлетворяет $(B_{l}^{(p)})$-условию Н. К. Бари, равносильному $(S_{l})$-условию С. Б. Стечкина, то
$$ E_{n-1}(f)_{q}\asymp(\textstyle\sum\limits_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}\omega_{l}^{q}(f;\pi/\nu)_{p}) ^{1/q}, n\in\mathbb{N}. $$
Оценка сверху в пункте $(b)$, имеющая место для любой функции $f\in L_{p}(\mathbb{T})$ при условии сходимости ряда, представляет собой усиленный вариант прямой теоремы. Порядковое равенство $(b)$ показывает, что усиленный вариант является точным в смысле порядка на всем классе $M_{p}(\mathbb{T})$.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль гладкости, прямая теорема в разных метриках, тригонометрический ряд Фурье с монотонными коэффициентами, точное в смысле порядка неравенство на классе.

DOI: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-3-144-158

Полный текст: PDF файл (258 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Англоязычная версия:
Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics (Supplementary issues), 2018, 303, suppl. 1, 100–114

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.518.454, 517.518.832
MSC: 42A10, 41А17, 41А25, 42А32
Поступила в редакцию: 15.03.2017

Образец цитирования: Н. А. Ильясов, “Прямая теорема в разных метриках теории приближений периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье”, Тр. ИММ УрО РАН, 23, № 3, 2017, 144–158; Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 303, suppl. 1 (2018), 100–114

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ily17}
\by Н.~А.~Ильясов
\paper Прямая теорема в разных метриках теории приближений периодических функций с монотонными коэффициентами Фурье
\serial Тр. ИММ УрО РАН
\yr 2017
\vol 23
\issue 3
\pages 144--158
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/timm1445}
\crossref{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2017-23-3-144-158}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=29938007}
\transl
\jour Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.)
\yr 2018
\vol 303
\issue , suppl. 1
\pages 100--114
\crossref{https://doi.org/10.1134/S0081543818090110}
\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000453521100013}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/timm1445
  • http://mi.mathnet.ru/rus/timm/v23/i3/p144

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Труды Института математики и механики УрО РАН
    Просмотров:
    Эта страница:230
    Полный текст:70
    Литература:59
    Первая стр.:18
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020