Разреженное тригонометрическое приближение классов Бесова функций с малой смешанной гладкостью

В работе рассматриваются задачи, которые касаются нахождения точных по порядку оценок такого разреженного тригонометрического приближения, как наилучшее $m$-членное тригонометрическое приближение $\sigma_m(F)_q$, где в качестве классов $F$ рассматриваются как классы Никольского — Бесова $\mathbf{MB}^r_{p,\theta}$ функций смешанной гладкости, так и близкие к ним функциональные классы. Уделяется внимание соотношениям между параметрами $p$ и $q$, когда $1<p<q<\infty$, $q>2$. А. С. Романюком (2003) были найдены точные по порядку оценки величины $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$, $1\leq\theta\leq\infty$ (оценки сверху при этом являлись неконструктивными), когда $1<p\leq 2<q<\infty$, $r>1/p-1/q$ или $2<p<q<\infty$, $r>1/2$. В дополнение к исследованиям А. С. Романюка недавно В. Н. Темляков получил конструктивные оценки сверху (которые обеспечиваются конструктивным методом, основанным на жадном алгоритме) величины $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q \asymp\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$, $1\leq\theta\leq\infty$ в случае большой гладкости, т. е. при $1<p<q<\infty$, $q>2$, $r>\max\{1/p;1/2\}$, рассмотрев при этом более широкие классы $\mathbf{MH}^r_{p,\theta}$ ($\mathbf{MB}^r_{p,\theta}\subset\mathbf{MH}^r_{p,\theta}\subset\mathbf{MH}^r_{p}$, $1\leq\theta<\infty$). Меньше внимания было уделено конструктивным оценкам сверху величин $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$ и $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$ в случае малой гладкости, т .е. при $1<p\leq 2<q<\infty$, $1/p-1/q<r\leq 1/p$. Для $1<p\leq 2<q<\infty$ В. Н. Темляковым была найдена конструктивная оценка сверху для $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$, если $\theta=\infty$, $1/p-1/q<r<1/p$ или $\theta=p$, $(1/p-1/q)q'<r<1/p$, где $1/q+1/q'=1$, а автором — конструктивная оценка сверху для $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$, если $r=1/p$, $p\leq\theta\leq\infty$, при этом оказалось, что $\sigma_m(\mathbf{MH}_{p,\theta}^{r})_q \asymp \sigma_m(\mathbf{MB}_{p,\theta}^{r})_q (\log m)^{1/\theta}$, $r=1/p$, $p\leq\theta<\infty$. В данной работе устанавливается конструктивная оценка сверху для $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$ (или $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$), $1<p\leq 2<q<\infty$, $(1/p-1/q)q'<r<1/p$, когда $p<\theta<\infty$ (или $p\leq\theta<\infty$), а также точные по порядку (хотя и неконструктивные сверху) оценки величин $\sigma_m(\mathbf{MB}^r_{p,\theta})_q$, $2<p<q<\infty$, $\theta=1$, $r=1/2$, и $\sigma_m(\mathbf{MH}^r_{p,\theta})_q$, $1<p\leq 2<q<\infty$, $1\leq\theta<p$, $r=1/p$, которые дополняют соответственно результаты А. С. Романюка и недавние исследования автора.