RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Тр. ИММ УрО РАН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Тр. ИММ УрО РАН, 2018, том 24, номер 1, страницы 223–235 (Mi timm1510)  

Об оценке хаусдорфова расстояния между множеством и его выпуклой оболочкой в евклидовых пространствах малой размерности

В. Н. Ушаковa, А. А. Ершовba

a Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
b Челябинский государственный университет

Аннотация: В работе выводятся оценки хаусдорфова расстояния между множествами и их выпуклыми оболочками в конечномерных евклидовых пространствах со стандартным скалярным произведением и соответствующей нормой. В первой части работы данные оценки рассматриваются для $\alpha$-множеств. Под $\alpha$-множеством понимается произвольный компакт, у которого параметр, характеризующий степень невыпуклости и вычисляемый определенным образом, равен $\alpha$. В большинстве случаев упомянутый параметр $\alpha$ представляет собой максимальный возможный угол, под которым видны из точек, не принадлежащих рассматриваемому множеству, их проекции на это множество. $\alpha$-множества были введены В.Н. Ушаковым для классификации невыпуклых множеств по степени их невыпуклости. Они используются для описания волновых фронтов и других задач, возникающих в теории управления. В работе рассмотрены $\alpha$-множества только в двумерном пространстве. Доказано, что если $\alpha$ мало, то соответствующие $\alpha$-множества близки к выпуклым множествам в хаусдорфовой метрике. Это позволяет пренебрегать их невыпуклостью и считать их выпуклыми, если известно, что параметр $\alpha$ мал. Отметим, что таким же образом часто применяется известная теорема Шепли - Фолкмана. Во второй части работы получены некоторое улучшение к оценке из самой теоремы Шепли - Фолкмана. В оригинальной теореме Шепли - Фолкмана утверждается, что сумма Минковского большого количества множеств близка в хаусдорфовой метрике к ее выпуклой оболочке по отношению к величине чебышëвского радиуса суммы. В данной работе рассмотрен частный случай, когда эта сумма состоит из одинаковых слагаемых, т. е. мы складываем некоторое множество $M$ само с собой. Для данного частного случая получено улучшение оценки, которое существенно для множеств в пространствах малой размерности. Кроме того, как и в известном следствии Старра, новая оценка допускает следующее улучшение: мы можем заменить чебышëвский радиус $R(M)$ в правой части оценки на внутренний радиус $r(M)$ множества $M$. Однако, отметим, что при неограниченном увеличении размерности пространства наша новая оценка асимптотически стремится к оценке, непосредственно вытекающей из теоремы Шепли - Фолкмана.

Ключевые слова: $\alpha$-множество, сумма Минковского, выпуклая оболочка, хаусдорфово расстояние.

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 18-31-00018 мол_а
Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект 18-31-00018 мол_а).


DOI: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-1-223-235

Полный текст: PDF файл (243 kB)
Первая страница: PDF файл
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.977
MSC: 52A27, 52A30
Поступила в редакцию: 10.09.2017

Образец цитирования: В. Н. Ушаков, А. А. Ершов, “Об оценке хаусдорфова расстояния между множеством и его выпуклой оболочкой в евклидовых пространствах малой размерности”, Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 1, 2018, 223–235

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{UshErs18}
\by В.~Н.~Ушаков, А.~А.~Ершов
\paper Об оценке хаусдорфова расстояния между множеством и его выпуклой оболочкой в евклидовых пространствах малой размерности
\bookinfo Выпуск посвящен 70-летнему юбилею Александра Георгиевича Ченцова
\serial Тр. ИММ УрО РАН
\yr 2018
\vol 24
\issue 1
\pages 223--235
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/timm1510}
\crossref{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-1-223-235}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=32604059}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/timm1510
  • http://mi.mathnet.ru/rus/timm/v24/i1/p223

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Труды Института математики и механики УрО РАН
    Просмотров:
    Эта страница:41
    Литература:10
    Первая стр.:5

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018