RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Тр. ИММ УрО РАН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Тр. ИММ УрО РАН, 2018, том 24, номер 2, страницы 93–106 (Mi timm1526)  

О равносильности некоторых неравенств теории приближений периодических функций в пространствах $L_p(\mathbb T), 1 < p < \infty$

Н. А. Ильясов

Бакинский государственный университет

Аннотация: В статье предлагается метод, который позволяет, в частности, установить равносильность известных оценок М.Ф. Тимана для $L_{p}$-модулей гладкости $r$-го порядка $\omega_{r}(f;{\pi/n})_{p}$ и оценок О.В. Бесова для $L_p$-норм производных $r$-го порядка $\|f^{(r)}\|_{p}$ посредством элементов последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ наилучших приближений $2\pi$-периодической функции $f\in L_{p}(\mathbb T)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n-1, n\in \mathbb N$, где $r\in \mathbb N, 1 < p < \infty, \mathbb T=(-\pi,\pi]$. Теорема 1. Пусть $1 < p <\infty, \theta=\min\{2,p\}$$r\in \mathbb N$$f\in L_{p}(\mathbb T)$ и $\sum_{n=1}^{\infty}n^{\theta r-1} E_{n-1}^{\theta}(f)_{p} < \infty$. Тогда выполнение неравенства $\omega_{r}(f;\pi/n)_{p} \le C_{1}(r,p)n^{-r} (\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\theta r-1}E_{\nu-1}^{\theta}(f)_{p})^{1/\theta}$, $n\in \mathbb N$, необходимо и достаточно, чтобы $f\in L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$ и имело место неравенство $\|f^{(r)}\|_{p} \le C_{2}(r,p) (\sum_{n=1}^{\infty}n^{\theta r-1} E_{n-1}^{\theta}(f)_{p})^{1/\theta}$, где $L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$ - класс функций $f\in L_{p}(\mathbb T)$, имеющих абсолютно непрерывную производную $(r-1)$-го порядка и $f^{(r)} \in L_{p}(\mathbb T)$. Теорема 2. Пусть $1 < p < \infty, \beta=\max\{2,p\}$$r\in \mathbb N$ и $f\in L_{p}^{(r)}(\mathbb T)$. Тогда выполнение неравенства $n^{-r}(\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\beta r-1} E_{\nu-1}^{\beta}(f)_{p})^{1/\beta}\le C_{3}(r,p)\omega_{r}(f;\pi/n)_{p}$, $n\in \mathbb N$, необходимо и достаточно для справедливости неравенства $(\sum_{n=1}^{\infty}n^{\beta r-1}E_{n-1}^{\beta}(f)_{p})^{1/\beta}\le C_{4}(r,p)\|f^{(r)}\|_{p}$. В силу справедливости порядкового равенства $\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\alpha r-1} E_{\nu-1}^{\alpha}(f)_{p}\asymp \sum_{\nu=1}^{n}\nu^{\alpha r-1}\omega_{l}^{\alpha} (f;\pi/\nu)_{p}, n\in \mathbb N \cup \{+\infty\}$, где $1\le \alpha < \infty$$l\in \mathbb N$$l>r$, утверждения теорем 1 и 2 остаются в силе, если вместо последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ рассматривать последовательность $\{\omega_{l}(f;\pi/n)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ (теоремы 3 и 4). Метод, используемый при доказательстве теорем 1 и 2, применяется к получению равносильных оценок сверху и равносильных оценок снизу для величин $E_{n-1}(f^{(r)})_{p}$ и $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{p}, n\in \mathbb N,$ посредством элементов последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$, где $k,r\in \mathbb N,  1 < p < \infty$.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль гладкости, неравенства теории приближений, равносильные неравенства, неравенства М.Ф. Тимана, неравенства О.В. Бесова.

DOI: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-93-106

Полный текст: PDF файл (250 kB)
Первая страница: PDF файл
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.518.832
MSC: 42A10, 41A17, 41A25, 41A27
Поступила в редакцию: 13.03.2018

Образец цитирования: Н. А. Ильясов, “О равносильности некоторых неравенств теории приближений периодических функций в пространствах $L_p(\mathbb T), 1 < p < \infty$”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 2, 2018, 93–106

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ily18}
\by Н.~А.~Ильясов
\paper О равносильности некоторых неравенств теории приближений периодических функций в пространствах $L_p(\mathbb T), 1 < p < \infty$
\serial Тр. ИММ УрО РАН
\yr 2018
\vol 24
\issue 2
\pages 93--106
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/timm1526}
\crossref{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-93-106}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=35060681}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/timm1526
  • http://mi.mathnet.ru/rus/timm/v24/i2/p93

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Труды Института математики и механики УрО РАН
    Просмотров:
    Эта страница:43
    Литература:18
    Первая стр.:18

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018