RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Тр. ИММ УрО РАН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Тр. ИММ УрО РАН, 2018, том 24, номер 2, страницы 256–265 (Mi timm1540)  

Оценка остаточного члена эллиптического синуса

А. А. Соловьев, С. В. Репьевский

Челябинский государственный университет

Аннотация: Основным результатом работы является весовая оценка остаточного члена $U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}$ разложения эллиптического синуса $z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ по степеням $k^2-1$ в промежутке $[0,1)$. Доказывается, что
\begin{equation*} \vert {(\cosh v})^2 U_n(v,k){(1-k^2)^{n+1}}\vert\leqslant const\frac{(1-k^2)^{n+1}}{(1-z)^{n+1}}   (z\in [0,1), k\in [0,1)), \end{equation*}
где $ const$ не зависит от $z$ и $k$. Одновременно предлагается алгоритм нахождения членов асимптотического разложения эллиптического синуса. Формально коэффициенты разложения функции $z={\mathrm sn}(v;k^2)$ в ряд по степеням $k^2-1$ могут быть получены по следующей схеме. Рассматривается эллиптический интеграл Лежандра I рода в форме Якоби $v=u(z,k^2)   (z\in [0,1), k\in [0,1))$ и вводится вспомогательная функция $v^{(0)}=u(z,1)$. На первом шаге функция $z=\tanh v^{(0)}$ разлагается в ряд по степеням $v-v^{(0)}$. Затем разность $v-v^{(0)}= u(z,k^2)-u(z,1)$ представляется рядом Тейлора по степеням $k^2-1$ и подставляется в разложение функции $z=\tanh v^{(0)}$. В коэффициентах разложения при степенях $k^2-1$ переменная $z$ заменяется на $\tanh v^{(0)}$, которая разлагается по степеням $v-v^{(0)}$. Далее, шаги повторяются. Эта процедура позволяет находить все коэффициенты асимптотического разложения эллиптического синуса $z={\mathrm{sn}}(v;k^2)$ при $k\to 1$, но связана она с большими вычислительными трудностями. Предложенный же в работе алгоритм основан на выделении слагаемых в разложении, вносящих вклад в остаточный член, и оценки таких слагаемых.

Ключевые слова: эллиптический синус, асимптотическое разложение, гиперболические функции.

DOI: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-256-265

Полный текст: PDF файл (181 kB)
Первая страница: PDF файл
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.583
MSC: 33E05, 41A80
Поступила в редакцию: 10.01.2018

Образец цитирования: А. А. Соловьев, С. В. Репьевский, “Оценка остаточного члена эллиптического синуса”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 2, 2018, 256–265

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{SolRep18}
\by А.~А.~Соловьев, С.~В.~Репьевский
\paper Оценка остаточного члена эллиптического синуса
\serial Тр. ИММ УрО РАН
\yr 2018
\vol 24
\issue 2
\pages 256--265
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/timm1540}
\crossref{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-2-256-265}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=35060695}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/timm1540
  • http://mi.mathnet.ru/rus/timm/v24/i2/p256

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Труды Института математики и механики УрО РАН
    Просмотров:
    Эта страница:2
    Первая стр.:1

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018