RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Тр. ИММ УрО РАН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Тр. ИММ УрО РАН, 2018, том 24, номер 4, страницы 176–188 (Mi timm1584)  

О равносильности некоторых соотношений в разных метриках между нормами, наилучшими приближениями и модулями гладкости периодических функций и их производных

Н. А. Ильясов

Бакинский государственный университет

Аннотация: В статье предлагается метод, который позволяет, в частности, установить равносильность известных оценок сверху $L_{q}(\mathbb T)$-нормы $\|f^{(r)}\|_{q}$, величины наилучшего приближения $E_{n-1}(f^{(r)})_{q} $ и модуля гладкости $k$-го порядка $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{q}$ посредством элементов последовательности $\{E_{n-1}(f)_{p}\}_{n=1}^{\infty}$ наилучших приближений $2\pi$-периодической функции $f\in L_{p}(\mathbb T)$ тригонометрическими полиномами порядка не выше $n-1$, $n\in \mathbb N$, где $r\in \mathbb Z_{+} (f^{(0)}=f), 1 < p < q < \infty,  \mathbb T=(-\pi,\pi]$. Основным результатом работы является следующее утверждение: пусть $1 < p < q < \infty, r\in \mathbb Z_{+}$, $k\in \mathbb N, \sigma=r+1/p-1/q, f\in L_{p}(\mathbb T)$ и $E(f;p;\sigma;q) \equiv (\sum_{\nu=1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1} E_{\nu-1}^{q}(f)_{p})^{1/q} < \infty$; тогда неравенства (a) $\|f^{(r)}\|_{q} \le C_{1}(r,p,q)\{(1-\chi(r))\|f\|_{p}+E(f;p;\sigma;q)\}$; (b) $E_{n-1}(f^{(r)})_{q} \le C_{2}(r,p,q)\{n^{\sigma}E_{n-1}(f)_{p}+(\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1} E_{\nu-1}^{q}(f)_{p})^{1/q} \}, n\in \mathbb N$; (c) $\omega_{k}(f^{(r)};\pi/n)_{q} \le C_{3}(k,r,p,q)\{ (\sum_{\nu=n+1}^{\infty}\nu^{q\sigma-1}E_{\nu-1}^{q}(f)_{p})^{1/q}+n^{-k} (\sum_{\nu=1}^{n}\nu^{q(k+\sigma)-1}E_{\nu-1}^{q}(f)_{p})^{1/q}\}$, $n\in \mathbb N$, являются равносильными в том смысле, что выполнение любого из этих неравенств влечет выполнение двух других. Неравенства (a), (b) и (c) могут быть установлены привлечением лишь одной ключевой оценки
$$ \| S_{m}^{(l)}(f;\cdot)\|_{q} \le C_{4}(l,p,q)\{(1-\chi(l))\|f\|_{p}+(\sum_{\nu=1}^{m}\nu^{q\lambda-1} E_{\nu-1}^{q}(f)_{p})^{1/q} \},  m\in \mathbb N, $$
где $S_{m}(f;x)$ - частная сумма порядка $m\in \mathbb N$ ряда Фурье функции $f\in L_{p}(\mathbb T), l\in \mathbb Z_{+}$, $\lambda =l+1/p-1/q$, $\chi(t)=0$ при $t\le 0$ и $\chi(t)=1$ при $t>0$, $t\in \mathbb R$. Выполнение последней оценки в случае $l=r$ и $\lambda=\sigma$ необходимо и достаточно для справедливости неравенства (a) при условии $E(f;p;\sigma;q) < \infty$, гарантирующем принадлежность $f\in L_{q}^{(r)}(\mathbb T)$, где $L_q^{(r)}(\mathbb T)$ - класс функций $f\in L_{q}(\mathbb T)$, имеющих абсолютно непрерывную производную $(r-1)$-го порядка, и $f^{(r)} \in L_{q}(\mathbb T)$. Для неравенств (b) и (c) также имеют место необходимые и достаточные условия их справедливости в терминах поведения элементов последовательности $\{\|S_{m}^{(l)}(f;\cdot)\|_{q}\}_{m=1}^{\infty}$.

Ключевые слова: наилучшее приближение, модуль гладкости, неравенства в разных метриках, равносильные неравенства.

DOI: https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-4-176-188

Полный текст: PDF файл (231 kB)
Первая страница: PDF файл
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.518.832
MSC: 42A10, 41A17, 41A25, 41A27
Поступила в редакцию: 10.09.2018
Исправленный вариант: 13.11.2018
Принята в печать:19.11.2018

Образец цитирования: Н. А. Ильясов, “О равносильности некоторых соотношений в разных метриках между нормами, наилучшими приближениями и модулями гладкости периодических функций и их производных”, Тр. ИММ УрО РАН, 24, № 4, 2018, 176–188

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Ily18}
\by Н.~А.~Ильясов
\paper О равносильности некоторых соотношений в разных метриках между нормами, наилучшими приближениями и модулями гладкости периодических функций и их производных
\serial Тр. ИММ УрО РАН
\yr 2018
\vol 24
\issue 4
\pages 176--188
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/timm1584}
\crossref{https://doi.org/10.21538/0134-4889-2018-24-4-176-188}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=36517708}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/timm1584
  • http://mi.mathnet.ru/rus/timm/v24/i4/p176

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Труды Института математики и механики УрО РАН
    Просмотров:
    Эта страница:26
    Литература:11
    Первая стр.:8

     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019