Труды ордена Ленина Математического института имени В. А. Стеклова
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов
Лицензионный договор

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Труды МИАН:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Тр. МИАН СССР, 1981, том 157, страницы 90–118 (Mi tm2395)  

Эта публикация цитируется в 23 научных статьях (всего в 25 статьях)

Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод

П. И. Лизоркин, С. М. Никольский


Аннотация: В статье исследуется первая краевая задача для эллиптического уравнения
\begin{equation} Lu\equiv\sum_{|k|,|l|\leq r}(-1)^{|k|}D^k(a_{kl}(x)D^lu)=F(x), \qquad x\in\Omega \end{equation}
(где $k=(k_1,k_2,…,k_n)$, $|k|=k_1+k_2+…+k_n$, $k_j\ge0$ при $j=1,2,…,n$, $r\ge1$), вырождающегося на границе $\Gamma$ ограниченной области $\Omega\subset R_n$. Коэффициенты $a_{kl}(x)$ измеримы, симметричны (т.е. $a_{kl}=a_{lk}$) и подчиняются на заключительной стадии требованиям
\begin{equation} |D^\lambda a_{kl}(x)|\le C\rho^{-2(r+\alpha)+|k|+|l|-|\lambda|},\qquad|\lambda|\le\gamma, \end{equation}
где $\rho(x)=\operatorname{dist}(x,\Gamma)$, $\gamma$ – фиксированное целое число. При $\lambda=0$ условие (2) характеризует характер вырождения уравнения (1) на границе $\Gamma$ (в некоторых случаях условия (2) ужесточаются).
Ищется обобщенное решение уравнения (1), точнее говоря, решение $U$ с конечной весовой нормой
\begin{equation} \|U\|_{W^r_{2,n}(\Omega)}=\{\int_\Omega(\rho^{-2\alpha} \sum_{|k|=r}|D^kU|^2+|U|^2)dx\}^{1/2}, \end{equation}
удовлетворяющее интегральному соотношению
$$ \int_\Omega(\sum_{|k|,|l|\le r}a_{kl}(x)D^kUD^lv-F(x)v)dx=0, \qquad\forall v\in C^\infty_0(\Omega) $$
и принимающее на границе $\Gamma$ те же значения, что и наперед заданная функция $\Phi\in W_{2,\alpha}^r(\Omega)$.
Такая постановка при нецелом $r+\alpha-1/2$ соответствует заданию на границе $\Gamma$ краевых условий
\begin{equation} u|_{\Gamma}=\varphi_0,\quad\frac{\partial u}{\partial\nu}|_{\Gamma} =\varphi_1,…,\frac{\partial^{s_0-1}u}{\partial\nu^{s_0-1}}|_\Gamma =\varphi_{s_0-1},\qquad \varphi_j\in W_2^{r+\alpha-j-1/2}(\Gamma), \end{equation}
число $s_0$ которых зависит от $\alpha$: $s_0=[r+\alpha-1/2]$.
В статье доказаны коэрцитивные оценки обобщенного решения $U$ задачи (1), (4), т.е. оценки $\|U\|_{W^r_{2,\alpha}(\Omega)}$ через соответствующие нормы функции $F$ и функций $\varphi_j$, $j=0,1,…,s_0-1$.
Доказаны также теоремы о регулярности решения $U$, утверждающие, что при выполнении условий (2) и надлежащих требованиях к $F(x)$ обобщенное решение $U$ принадлежит на самом деле пространству $W^{r+\gamma}_{2,\alpha-\gamma}(\Omega)$.
В статье получил развитие специальный технический аппарат, представляющий самостоятельный интерес. Этот аппарат широко использует теорию весовых функциональных пространств $W^r_{2,\alpha}(\Omega)$ с нормой (3).
Библиогр. – 9 назв.

Полный текст: PDF файл (2554 kB)

Реферативные базы данных:
Тип публикации: Статья
УДК: 517.9

Образец цитирования: П. И. Лизоркин, С. М. Никольский, “Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с вырождением. Вариационный метод”, Теория чисел, математический анализ и их приложения, Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его девяностолетию, Тр. МИАН СССР, 157, 1981, 90–118

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{LizNik81}
\by П.~И.~Лизоркин, С.~М.~Никольский
\paper Коэрцитивные свойства эллиптических уравнений с~вырождением. Вариационный метод
\inbook Теория чисел, математический анализ и их приложения
\bookinfo Сборник статей. Посвящается академику Ивану Матвеевичу Виноградову к его девяностолетию
\serial Тр. МИАН СССР
\yr 1981
\vol 157
\pages 90--118
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tm2395}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=651761}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:0475.35050|0477.35046}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/tm2395
  • http://mi.mathnet.ru/rus/tm/v157/p90

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. Kudryavtsev L.D., “A Variational Method of Finding Generalized Solutions of Differential–Equations in Function–Spaces with Power Weight–Functions”, Differential Equations, 19:10 (1983), 1282–1296  isi
    2. Baideldinov B.L., “An Analog of the 1st Boundary–Value Problem for a 2M–Order Elliptic Equation with Exponential Degeneration on the Boundary”, Doklady Akademii Nauk Sssr, 270:5 (1983), 1038–1042  mathnet  isi
    3. Roitberg J.A., Sheftel Z.G., “General Boundary–Value–Problems for Elliptic in the Sense of Douglis–Nirenberg Systems with Strong Degeneration”, Doklady Akademii Nauk Sssr, 276:6 (1984), 1324–1327  mathnet  isi
    4. В. К. Дзядык, А. Н. Колмогоров, Л. Д. Кудрявцев, С. Л. Соболев, “Сергей Михайлович Никольский (к восьмидесятилетию со дня рождения)”, УМН, 40:5(245) (1985), 269–278  mathnet  mathscinet  zmath  adsnasa; V. K. Dzyadyk, A. N. Kolmogorov, L. D. Kudryavtsev, S. L. Sobolev, “Sergei Mikhailovich Nikol'skii (on his eightieth birthday)”, Russian Math. Surveys, 40:5 (1985), 251–263  crossref
    5. Shankov V.V., “Coercive Properties of an Elliptic Equation with Degeneracy”, Doklady Akademii Nauk Sssr, 281:6 (1985), 1320–1322  mathnet  isi
    6. Roitberg J.A., Sheftel Z.G., “On Solvability in the Lp–Spaces of Generalized–Functions of General Boundary–Value–Problems for Strongly Degenerating Elliptic–Systems”, Doklady Akademii Nauk Sssr, 296:3 (1987), 542–546  mathnet  isi
    7. Roitberg Y.A., Sheftel Z.G., “Boundary–Value–Problems for General Systems with Strong Degeneration”, Differential Equations, 23:2 (1987), 214–220  isi
    8. Salmanov I.D., “The 1st Boundary–Value Problem for Elliptic–Type Differential–Equations with Degeneration on Manifolds of Any Dimensions”, Doklady Akademii Nauk Sssr, 301:1 (1988), 38–48  mathnet  isi
    9. Boitmatov K.K., “Generalized Dirihlet Problem for the Systems of Differential–Equations of 2nd–Order”, Doklady Akademii Nauk, 327:1 (1992), 9–15  mathnet  isi
    10. Boimatov K.K., “The Generalized Dirihlet Problem Associated with Noncoersive Bilinear Form”, Doklady Akademii Nauk, 330:3 (1993), 285–290  mathnet  isi
    11. Boimatov K.K., “Matrix Differential–Operators Associated with Noncoercive Bilinear–Forms”, Doklady Akademii Nauk, 339:1 (1994), 5–10  mathnet  isi
    12. Iskhokov S.A., “On the smoothness of solutions of degenerating differential equations”, Differential Equations, 31:4 (1995), 594–606  mathnet  isi
    13. Boimatov K.K., Seddighi K., “Boundary problems for the systems of differential equations associated with noncoersive forms”, Doklady Akademii Nauk, 352:3 (1997), 295–297  mathnet  isi
    14. Ю. Д. Салманов, “О гладкости обобщенного решения краевой задачи для некоторых вырождающихся нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений”, Матем. заметки, 63:6 (1998), 882–890  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; Yu. D. Salmanov, “Smoothness of generalized solutions of boundary value problems for certain degenerate nonlinear ordinary differential equations”, Math. Notes, 63:6 (1998), 777–784  crossref  isi
    15. С. М. Никольский, “Еще о краевой задаче с многочленами”, Функциональные пространства, гармонический анализ, дифференциальные уравнения, Сборник статей. К 95-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Труды МИАН, 232, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2001, 286–288  mathnet  mathscinet  zmath; S. M. Nikol'skii, “More on a Boundary Value Problem with Polynomials”, Proc. Steklov Inst. Math., 232 (2001), 278–280
    16. Iskhokov S.A., “The variational Dirichlet problem for elliptic operators with nonpower degeneration generated by noncoercive bilinear forms”, Doklady Mathematics, 68:2 (2003), 261–265  isi
    17. “Список трудов С. М. Никольского”, Исследования по теории функций и дифференциальным уравнениям, Сборник статей. К 100-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Труды МИАН, 248, Наука, МАИК «Наука/Интерпериодика», М., 2005, 8–25  mathnet  mathscinet  zmath; “The List of S.M. Nikol'skii's Works”, Proc. Steklov Inst. Math., 248 (2005), 2–20
    18. М. К. Керимов, “К столетию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 46:3 (2006), 363–371  mathnet  mathscinet  elib; M. K. Kerimov, “On the 100th birthday of Academician Sergei Mikhailovich Nikol'skii”, Comput. Math. Math. Phys., 46:3 (2006), 345–353  crossref
    19. В. В. Шаньков, “Вариационная задача с вырождением на границе интервала”, Матем. заметки, 81:3 (2007), 464–471  mathnet  crossref  mathscinet  zmath  elib; V. V. Shan'kov, “Variational Problem with Degeneracy at the Boundary of the Interval”, Math. Notes, 81:3 (2007), 408–414  crossref  isi
    20. Iskhokov S.A., “On the existence and smoothness of a generalized solution of a nonlinear differential equation with degeneration”, Differential Equations, 44:2 (2008), 241–255  crossref  isi
    21. Гадоев М.Г., Якушев И.А., “Вариационная задача дирихле для одного класса эллиптических уравнений с вырождением”, Математические заметки ЯГУ, 18:1 (2011), 25–35  elib
    22. Исхоков С.А., Гадоев М.Г., Якушев И.А., “Неравенство гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением”, Доклады Академии наук, 443:3 (2012), 286–286  elib
    23. С. А. Исхоков, М. Г. Гадоев, И. А. Якушев, “Неравенство Гординга для эллиптических операторов высшего порядка с нестепенным вырождением и его приложения”, Уфимск. матем. журн., 8:1 (2016), 54–71  mathnet  elib; S. A. Iskhokov, M. G. Gadoev, I. Ya. Yakushev, “Gårding inequality for higher order elliptic operators with a non-power degeneration and its applications”, Ufa Math. J., 8:1 (2016), 51–67  crossref  isi
    24. С. А. Исхоков, И. А. Якушев, “О разрешимости вариационной задачи Дирихле для одного класса вырождающихся эллиптических операторов”, Чебышевский сб., 19:3 (2018), 164–182  mathnet  crossref  elib
    25. А. А. Калыбай, Ж. А. Кеулимжаева, Р. Ойнаров, “О плотности финитных функций в пространстве с мультивесовыми производными”, Функциональные пространства, теория приближений и смежные вопросы анализа, Сборник статей. К 115-летию со дня рождения академика Сергея Михайловича Никольского, Труды МИАН, 312, МИАН, М., 2021, 188–202  mathnet  crossref; A. A. Kalybay, Zh. A. Keulimzhayeva, R. Oinarov, “On the Density of Compactly Supported Functions in a Space with Multiweighted Derivatives”, Proc. Steklov Inst. Math., 312 (2021), 179–193  crossref  isi  elib
  • Труды Математического института им. В. А. Стеклова Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics
    Просмотров:
    Эта страница:177
    Полный текст:87
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021