Функциональное уравнение Хирцебруха: классификация решений

Функциональным уравнением Хирцебруха называется уравнение $\sum_{i = 1}^{n} \prod_{j \ne i} { 1 \over f(z_j - z_i)} = c$ с константой $c$ и начальными условиями $f(0)=0, f'(0)=1$. В настоящей работе найдены все решения этого уравнения для $n \leqslant 6$ в классе мероморфных функций и в классе рядов. Ранее, подобные результаты были известны лишь для $n \leqslant 4$.
Функцией Тодда называется функция, определяющая двупараметрический род Тодда (то есть $\chi_{a,b}$-род). Она является решением функционального уравнения Хирцебруха для любого $n$. Эллиптической функцей уровня $N$ называется функция, определяющая эллиптический род уровня $N$. Она является решением функционального уравнения Хирцебруха для $n$ делящихся на $N$.
Рядом, соответствующим мероморфной функции $f$ с параметрами в $U \subset \mathbb{C}^k$, мы называем ряд с параметрами в замыкании $U$ по Зарисскому в $\mathbb{C}^k$, такой что для параметров в $U$ этот ряд совпадает с разложением в ряд функции $f$ в нуле. Основными результатами работы являются:
Теорема. Любое решение в классе рядов функционального уравнения Хирцебруха для $n = 5$ соответствует функции Тодда либо эллиптической функции уровня $5$.
Теорема. Любое решение в классе рядов функционального уравнения Хирцебруха для $n = 6$ соответствует функции Тодда либо эллиптической функции уровня $2$, $3$ или $6$.
Это даёт полную классификацию комплексных родов, послойно мультипликативных относительно $\mathbb{C}P^{n-1}$ для $n \leqslant 6$. Топологическим приложением настоящей работы является эффективное вычисление коэффициентов эллиптических родов уровня $N$ для $N = 2,3,4,5,6$ в терминах решений дифференциального уравнения с параметрами в неприводимом алгебраическом многообразии в $\mathbb{C}^4$.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	14-50-00005
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №~14-50-00005).