Функциональное уравнение Хирцебруха: классификация решений

Функциональным уравнением Хирцебруха называется уравнение $\sum _{i=1}^n\prod _{j\ne i} (1/f(z_j-z_i))=c$ с константой $c$ и начальными условиями $f(0)=0$, $f'(0)=1$. В работе найдены все решения этого уравнения для $n\leq 6$ в классе мероморфных функций и в классе рядов. Ранее подобные результаты были известны лишь для $n\leq 4$. Функцией Тодда называется функция, определяющая двупараметрический род Тодда (т.е. $\chi _{a,b}$-род). Она является решением функционального уравнения Хирцебруха для любого $n$. Эллиптической функцией уровня $N$ называется функция, определяющая эллиптический род уровня $N$. Она является решением функционального уравнения Хирцебруха для $n$, делящихся на $N$. Рядом, соответствующим мероморфной функции $f$ с параметрами в $U\subset \mathbb C^k$, в работе называется ряд с параметрами в замыкании $U$ по Зарисскому в $\mathbb C^k$ такой, что для параметров в $U$ этот ряд совпадает с разложением в ряд функции $f$ в нуле. Основные результаты работы следующие: (1) любое решение в классе рядов функционального уравнения Хирцебруха для $n=5$ соответствует функции Тодда либо эллиптической функции уровня $5$; (2) любое решение в классе рядов функционального уравнения Хирцебруха для $n=6$ соответствует функции Тодда либо эллиптической функции уровня $2$, $3$ или $6$. Это дает полную классификацию комплексных родов, послойно мультипликативных относительно $\mathbb C\mathrm P^{n-1}$ для $n\leq 6$. Топологическим приложением настоящей работы является эффективное вычисление коэффициентов эллиптических родов уровня $N$ для $N=2,…,6$ в терминах решений дифференциального уравнения с параметрами в неприводимом алгебраическом многообразии в $\mathbb C^4$.

Финансовая поддержка	Номер гранта
Российский научный фонд	14-50-00005
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект №14-50-00005).