Теория вероятностей и ее применения
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Подписка
Правила для авторов
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Теория вероятн. и ее примен.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Теория вероятн. и ее примен., 2003, том 48, выпуск 2, страницы 249–253 (Mi tvp283)  

Эта публикация цитируется в 3 научных статьях (всего в 3 статьях)

Некоторые неравенства, связанные с усиленным законом больших чисел

А. Н. Колмогоров


Аннотация: История публикуемой ниже заметки А. Н. Колмогорова, написанной более 40 лет назад (она датируется автором апрелем 1962 г.), такова. В то время, будучи аспирантом Андрея Николаевича, я занимался обобщением и уточнением известного неравенства Чебышева. С результатами моих размышлений я выступил на семинаре А. Н. Колмогорова в МГУ. В 1962 году по просьбе С. Н. Бернштейна я написал комментарий к его статье “О некоторых видоизменениях неравенства Чебышева” (эта статья и комментарий к ней включены в четвертый том собрания сочинений С. Н. Бернштейна). Андрей Николаевич с интересом отнесся к моей работе, опубликованной в том же году в трудах МФТИ, и во время моего посещения Комаровки с отчетом о проделанной работе Андрей Николаевич дал мне рукопись небольшой его заметки. Он попросил меня ознакомиться с нею и подумать на эту тему, близкую к тому, о чем я рассказывал в моем докладе на его семинаре и писал в комментарии к работе С. Н. Бернштейна. Через некоторое время я сообщил А. Н. о своих соображениях и спросил его, не собирается ли он подготовить свою заметку к публикации. А. Н. ответил, что пока это не входит в его планы. Его рукопись осталась у меня и сохранилась в моем архиве.
Хотя она не содержит фундаментальных результатов, какими обычно отличались работы А. Н. Колмогорова, знакомство с тем, о чем он думал и над чем работал в этот плодотворный период его деятельности, несомненно, будет интересно и полезно как для сложившихся специалистов, так и для тех, кто только связывает свою научную деятельность с теорией вероятностей.
В рукописи, среди прочего, содержится формула (9), в которой $\varepsilon >0$ и $p\in (0,1)$, где $\mu_n$ — число успехов в $n$ испытаниях Бернулли с вероятностью успеха $p$. Для $p=\frac12$ в рукописи также указано более точное неравенство (8).
Следует отметить, что сходные неравенства приводятся в опубликованных позднее учебниках: Боровков А. А. Теория вероятностей. М.: Наука, 1986; Ширяев А. Н. Вероятность. М.: Наука, 1989.
В частности, на с. 131 первого учебника приведены неравенства
$$ P(\mu_n-np\ge \varepsilon)\le e^{-nH(p+\varepsilon/n)},\qquad P(\mu_n-np\le -\varepsilon)\le e^{-nH(p-\varepsilon/n)}, $$
где $H$ — некоторая функция, удовлетворяющая условию ${H(x)\ge 2x^2}$. На с. 81 второго учебника приведено неравенство $P(|\mu_n/n-p|\ge\varepsilon)$ $\le 2e^{-2n\varepsilon^2}$. Более внимательное исследование приема А. Н. Колмогорова, по всей видимости, может привести к неравенству $P(\sup_{k\ge n}|\mu_k/k-p|\ge \varepsilon)\le 2e^{-2n\varepsilon^2}$ для всех $p\in (0,1)$.
В заключение благодарю В. Ю. Королева и В. М. Круглова за помощь при подготовке рукописи к печати.
В. М. Золотарев

DOI: https://doi.org/10.4213/tvp283

Полный текст: PDF файл (394 kB)

Англоязычная версия:
Theory of Probability and its Applications, 2004, 48:2, 221–225

Реферативные базы данных:


Образец цитирования: А. Н. Колмогоров, “Некоторые неравенства, связанные с усиленным законом больших чисел”, Теория вероятн. и ее примен., 48:2 (2003), 249–253; Theory Probab. Appl., 48:2 (2004), 221–225

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Kol03}
\by А.~Н.~Колмогоров
\paper Некоторые неравенства, связанные с усиленным законом больших чисел
\jour Теория вероятн. и ее примен.
\yr 2003
\vol 48
\issue 2
\pages 249--253
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tvp283}
\crossref{https://doi.org/10.4213/tvp283}
\mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=2014970}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:1059.60040}
\transl
\jour Theory Probab. Appl.
\yr 2004
\vol 48
\issue 2
\pages 221--225
\crossref{https://doi.org/10.1137/S0040585X98035X}
\isi{http://gateway.isiknowledge.com/gateway/Gateway.cgi?GWVersion=2&SrcApp=PARTNER_APP&SrcAuth=LinksAMR&DestLinkType=FullRecord&DestApp=ALL_WOS&KeyUT=000222357100002}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/tvp283
  • https://doi.org/10.4213/tvp283
  • http://mi.mathnet.ru/rus/tvp/v48/i2/p249

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Эта публикация цитируется в следующих статьяx:
    1. В. М. Круглов, “О неравенствах для вероятностей больших уклонений в схеме Бернулли”, Теория вероятн. и ее примен., 49:4 (2004), 785–790  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
    2. Antonov S.N., Kruglov V.M., “Sharpened versions of a Kolmogorov's inequality”, Statistics & Probability Letters, 80:3–4 (2010), 155–160  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
    3. Zhang J.L., Liu X., Yuan Y., Mang H.A., “Multiscale Modeling of the Effect of the Interfacial Transition Zone on the Modulus of Elasticity of Fiber-Reinforced Fine Concrete”, Comput. Mech., 55:1 (2015), 37–55  crossref  mathscinet  zmath  isi
  • Теория вероятностей и ее применения Theory of Probability and its Applications
    Просмотров:
    Эта страница:451
    Полный текст:149
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021