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Teor. Veroyatnost. i Primenen., 1962, Volume 7, Issue 2, Pages 197–204 (Mi tvp4714)  

Short Communications

Sur la conduite limite des Compositions des mesures dans le plan $L_2$ et L'espace $L_3$ de Lobatchevski

V. N. Tutubalin

Moscow

Abstract: Soit $O$ l'origin dans $L_2$ (ou $L_3$), $\theta_x$ une translation conduisant $O$ dans $x,\mu_1$ et $\mu_2$ les mesures satisfaisant la condition $\mu_1(\Gamma)=\mu_1(h\Gamma)$ et $\mu_2(\Gamma)=\mu_2(h\Gamma)$ pour chaque $h$, $hO=0$. La mesure $\mu_1*\mu_2(\Gamma)=\int{\mu_1}(\theta _x^{-1}\Gamma)\mu_2(dx)$ ne depend pas du choix $\theta_x$. Soit $\eta=\rho(O,x)$, (ou $\rho$ est la metrique invariante), $\mu^n=\mu\underbrace{*\cdots*}_n\mu,F_\mu(y)=\mu\{x:\eta<y\}$. Les mesures $\mu$, et $\nu$ satisfaisant la condition $a_1(\mu)=a_1(\nu), a_2 (\mu)=a_2(\nu)$ ($a_1$ et $a_2$ (sont defini pour $L_3$ dans §1 et pour $L_2$ dans §3), on peut demontrer que $\sup_{0\leq y<\infty}|{F_{\mu^n}(y)-F_{\nu^n}(y)}|_{n\to\infty}\to0$.
La mesure $\nu$ est nommee infiniment divisible, si on peut trouver pour chaque $\varepsilon>0$ les mesures $\mu_1^{(\varepsilon)},…,\mu_{n_\varepsilon}^{(\varepsilon)}$ telles que $\nu=\mu_1^{(\varepsilon)}* …*\mu_{n_\varepsilon}^{(\varepsilon )}$ et $\mu _i^{(\varepsilon)}(x:\eta>\varepsilon)\leq\varepsilon, i= 1,2,…,n_\varepsilon$.
La mesure $\mu$, satisfaisant la condition $a_1(\mu)\leq a_2 (\mu)-a_1^2(\mu)$ pour $L_3$ et $2a_1(\mu)\leq a_2(\mu)-a_1^2(\mu)$ pour $L_2$, on peut trouver la mesure $\nu$ infiniment divisible telle que $\sup_{0\leq y<\infty}|{F_{\mu ^n}(y)-F_{\nu ^n}(y)}|_{n\to\infty}\to0$.

Full text: PDF file (837 kB)

English version:
Theory of Probability and its Applications, 1962, 7:2, 189–196

Received: 25.04.1960

Citation: V. N. Tutubalin, “Sur la conduite limite des Compositions des mesures dans le plan $L_2$ et L'espace $L_3$ de Lobatchevski”, Teor. Veroyatnost. i Primenen., 7:2 (1962), 197–204; Theory Probab. Appl., 7:2 (1962), 189–196

Citation in format AMSBIB
\Bibitem{Tut62}
\by V.~N.~Tutubalin
\paper Sur la conduite limite des Compositions des mesures dans le plan $L_2$ et L'espace $L_3$ de Lobatchevski
\jour Teor. Veroyatnost. i Primenen.
\yr 1962
\vol 7
\issue 2
\pages 197--204
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/tvp4714}
\transl
\jour Theory Probab. Appl.
\yr 1962
\vol 7
\issue 2
\pages 189--196
\crossref{https://doi.org/10.1137/1107018}


Linking options:
  • http://mi.mathnet.ru/eng/tvp4714
  • http://mi.mathnet.ru/eng/tvp/v7/i2/p197

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