RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
 Общая информация Последний выпуск Архив Поиск публикаций Поиск ссылок RSS Последний выпуск Текущие выпуски Архивные выпуски Что такое RSS

 Ural Math. J.: Год: Том: Выпуск: Страница: Найти

 Персональный вход: Логин: Пароль: Запомнить пароль Войти Забыли пароль? Регистрация

 Ural Math. J., 2018, том 4, выпуск 1, страницы 24–42 (Mi umj53)

Evaluation of some non-elementary integrals involving sine, cosine, exponential and logarithmic integrals: part I

Victor Nijimbere

School of Mathematics and Statistics, Carleton University, Ottawa, Ontario, Canada

Аннотация: The non-elementary integrals $Si_{\beta,\alpha}=\int [\sin{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx,$ $\beta\ge1,$ $\alpha\le\beta+1$ and $Ci_{\beta,\alpha}=\int [\cos{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx,$ $\beta\ge1,$ $\alpha\le2\beta+1$, where $\{\beta,\alpha\}\in\mathbb{R}$, are evaluated in terms of the hypergeometric functions $_{1}F_2$ and $_{2}F_3$, and their asymptotic expressions for $|x|\gg1$ are also derived. The integrals of the form $\int [\sin^n{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx$ and $\int [\cos^n{(\lambda x^\beta)}/(\lambda x^\alpha)] dx$, where $n$ is a positive integer, are expressed in terms $Si_{\beta,\alpha}$ and $Ci_{\beta,\alpha}$, and then evaluated. $Si_{\beta,\alpha}$ and $Ci_{\beta,\alpha}$ are also evaluated in terms of the hypergeometric function $_{2}F_2$. And so, the hypergeometric functions, $_{1}F_2$ and $_{2}F_3$, are expressed in terms of $_{2}F_2$. The exponential integral $Ei_{\beta,\alpha}=\int (e^{\lambda x^\beta}/x^\alpha) dx$ where $\beta\ge1$ and $\alpha\le\beta+1$ and the logarithmic integral $Li=\int_{\mu}^{x} dt/\ln{t}$, $\mu>1$, are also expressed in terms of $_{2}F_2$, and their asymptotic expressions are investigated. For instance, it is found that for $x\gg2$, $Li\sim {x}/{\ln{x}}+\ln{({\ln{x}}/{\ln{2}})}-2- \ln{2}\hspace{.075cm} _{2}F_{2}(1,1;2,2;\ln{2})$, where the term $\ln{({\ln{x}}/{\ln{2}})}-2- \ln{2}\hspace{.075cm} _{2}F_{2}(1,1;2,2;\ln{2})$ is added to the known expression in mathematical literature $Li\sim {x}/{\ln{x}}$. The method used in this paper consists of expanding the integrand as a Taylor and integrating the series term by term, and can be used to evaluate the other cases which are not considered here. This work is motivated by the applications of sine, cosine exponential and logarithmic integrals in Science and Engineering, and some applications are given.

Ключевые слова: Non-elementary integrals, Sine integral, Cosine integral, Exponential integral, Logarithmic integral, Hyperbolic sine integral, Hyperbolic cosine integral, Hypergeometric functions, Asymptotic evaluation, Fundamental theorem of calculus.

DOI: https://doi.org/10.15826/umj.2018.1.003

Полный текст: PDF файл (224 kB)
Полный текст: https:/.../108
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
Язык публикации: английский

Образец цитирования: Victor Nijimbere, “Evaluation of some non-elementary integrals involving sine, cosine, exponential and logarithmic integrals: part I”, Ural Math. J., 4:1 (2018), 24–42

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nij18} \by Victor~Nijimbere \paper Evaluation of some non-elementary integrals involving sine, cosine, exponential and logarithmic integrals: part I \jour Ural Math. J. \yr 2018 \vol 4 \issue 1 \pages 24--42 \mathnet{http://mi.mathnet.ru/umj53} \crossref{https://doi.org/10.15826/umj.2018.1.003} \mathscinet{http://www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=MR3848662} \elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=35339280} 

Образцы ссылок на эту страницу:
• http://mi.mathnet.ru/umj53
• http://mi.mathnet.ru/rus/umj/v4/i1/p24

 ОТПРАВИТЬ:

Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
Цикл статей
•  Просмотров: Эта страница: 255 Полный текст: 68 Литература: 13
 Обратная связь: math-net2020_12 [at] mi-ras ru Пользовательское соглашение Регистрация Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020