RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Владикавк. матем. журн.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Владикавк. матем. журн., 2018, том 20, номер 4, страницы 20–34 (Mi vmj673)  

Векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса

Вит. В. Волчковa, Н. П. Волчковаb

a Донецкий национальный университет, Россия, 83001, Донецк, ул. Университетская, 24
b Донецкий национальный технический университет, Россия, 83000, Донецк, ул. Артема, 58

Аннотация: Классическим свойством периодической функции на вещественной оси является возможность ее представления тригонометрическим рядом Фурье. Естественным аналогом условия периодичности в евклидовом пространстве $\mathbb{R}^n$ является постоянство интегралов от функции по всем шарам (или сферам) фиксированного радиуса. Функции с указанным свойством можно разложить в ряд по собственным функциям оператора Лапласа специального вида. Этот факт допускает обобщение на векторные поля в $\mathbb{R}^n$, имеющие нулевой поток через сферы фиксированного радиуса. При этом для них возникает представление Смита в виде суммы соленоидального векторного поля и бесконечного числа потенциальных векторных полей. Потенциальные векторные поля удовлетворяют уравнению Гельмгольца, связанному с нулями функции Бесселя $J_{n/2}$. Целью данной работы является получение локальных аналогов теоремы Смита. Изучаются векторные поля $\mathbf{A}$ с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса на областях $\mathcal{O}$ в евклидовом пространстве, инвариантных относительно вращений. Рассматриваются случаи, когда $\mathcal{O}=B_{R}=\{x\in\mathbb{R}^n:|x|<R \}$ или $\mathcal{O}=B_{a,b}=\{x\in\mathbb{R}^n:a<|x|<b \}$. Описание полей $\mathbf{A}$ состоит из двух шагов. На первом шаге доказывается равенство $\mathbf{A}({x}) = {\mathbf{A}}^s({x}) +B({x}){x}$, ${x}\in \mathcal{O}$, где ${\mathbf{A}}^s$ — подходящее соленоидальное векторное поле, ${B}$ — скалярное поле. Второй шаг состоит в описании функций $B(x)$. Основным инструментом для описания $B(x)$ являются многомерные ряды Фурье по сферическим гармоникам. Если $\mathcal{O}=B_{R}$, то коэффициенты Фурье функции $B(x)$ представимы рядами по гипергеометрическим функциям ${_1}F_2$. В случае, когда $\mathcal{O}=B_{a,b}$, соответствующие коэффициенты Фурье разлагаются в ряды, содержащие функции Бесселя, Неймана и Ломмеля. Результаты, полученные в работе, можно использовать при решении задач, связанных с гармоническим анализом векторных полей на областях в $\mathbb{R}^n$.

Ключевые слова: векторное поле, нулевое сферическое среднее, сферическая гармоника, функция Ломмеля.

DOI: https://doi.org/10.23671/VNC.2018.4.23384

Полный текст: PDF файл (307 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Тип публикации: Статья
УДК: 517.444
MSC: 53C65, 44A35
Поступила в редакцию: 16.11.2017

Образец цитирования: Вит. В. Волчков, Н. П. Волчкова, “Векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса”, Владикавк. матем. журн., 20:4 (2018), 20–34

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{VolVol18}
\by Вит.~В.~Волчков, Н.~П.~Волчкова
\paper Векторные поля с нулевым потоком через сферы фиксированного радиуса
\jour Владикавк. матем. журн.
\yr 2018
\vol 20
\issue 4
\pages 20--34
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/vmj673}
\crossref{https://doi.org/10.23671/VNC.2018.4.23384}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/vmj673
  • http://mi.mathnet.ru/rus/vmj/v20/i4/p20

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Владикавказский математический журнал
    Просмотров:
    Эта страница:140
    Полный текст:35
    Литература:14
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020