Владикавказский математический журнал
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Общая информация
Последний выпуск
Архив
Импакт-фактор
Правила для авторов

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Владикавк. матем. журн.:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Владикавк. матем. журн., 2019, том 21, номер 1, страницы 37–50 (Mi vmj683)  

Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости

А. В. Неклюдов

Московский государственный технический университет им. Н. Э. Баумана, Россия, 105005, Москва, Рубцовская наб., 2/18

Аннотация: В двумерной области $Q$, внешней по отношению к кругу, рассматривается равномерно эллиптическое уравнение второго порядка в дивергентной форме с измеримыми коэффициентами, содержащее младший неотрицательный коэффициент $q(x)=q(x_1,x_2)$ типа потенциала в стационарном уравнении Шрёдингера. Изучаются обобщенные решения, принадлежащие пространству С. Л. Соболева $W_2^1$ в любой ограниченной подобласти. Рассматривается вопрос о возможном росте решений на бесконечности. Доказано, что при достаточно быстром убывании младшего коэффициента $q(x)$ на бесконечности существует положительное решение, растущее как логарифм модуля радиус-вектора точки, т. е. так же, как фундаментальное решение соответствующего эллиптического оператора без младшего члена. Построенное решение обладает равномерно ограниченным «потоком тепла» через окружности произвольного радиуса $R$, концентрические с границей области $Q$. Далее устанавливается, что для любого решения, удовлетворяющего некоторой степенной оценке роста на бесконечности, выполнена оценка интеграла Дирихле типа принципа Сен-Венана в теории упругости. Ранее подобная оценка широко использовалась в работах для эллиптических уравнений второго порядка без младших членов в неограниченных областях. Оценка типа Сен-Венана позволяет получить оценку для интеграла Дирихле решения в кольцевой области через среднее значение решения на одной из окружностей этой кольцевой области. Из этого следует, что решение на окружности радиуса $R$ имеет тот же порядок роста по $R$, что и среднее значение на этой окружности. Использование принципа максимума позволяет показать, что любое растущее на бесконечности решение имеет логарифмический рост. Основной результат статьи состоит в том, что для данного уравнения имеет место трихотомия решений, как и для уравнения без младшего члена: решение является либо ограниченным, либо растет с логарифмической скоростью, сохраняя знак, либо осциллирует и растет по максимуму модуля как минимум степенным образом. Основным условием убывания младшего коэффициента, гарантирующего трихотомию решений, является конечность интеграла $\int_Q q(x)\ln|x| dx$.

Ключевые слова: эллиптическое уравнение, неограниченная область, младший коэффициент, асимптотическое поведение решений, трихотомия решений.

DOI: https://doi.org/10.23671/VNC.2019.1.27733

Полный текст: PDF файл (290 kB)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.956
MSC: 35J15
Поступила в редакцию: 16.05.2018

Образец цитирования: А. В. Неклюдов, “Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости”, Владикавк. матем. журн., 21:1 (2019), 37–50

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Nek19}
\by А.~В.~Неклюдов
\paper Трихотомия решений эллиптических уравнений второго порядка с убывающим потенциалом на плоскости
\jour Владикавк. матем. журн.
\yr 2019
\vol 21
\issue 1
\pages 37--50
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/vmj683}
\crossref{https://doi.org/10.23671/VNC.2019.1.27733}
\elib{https://elibrary.ru/item.asp?id=37318806}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/vmj683
  • http://mi.mathnet.ru/rus/vmj/v21/i1/p37

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles
  • Владикавказский математический журнал
    Просмотров:
    Эта страница:107
    Полный текст:38
    Литература:14
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2022