RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Общая информация
Последний выпуск
Скоро в журнале
Архив
Импакт-фактор
Сотрудники журнала
Правила для авторов
Лицензионный договор
Редакционная политика
Загрузить рукопись

Поиск публикаций
Поиск ссылок

RSS
Последний выпуск
Текущие выпуски
Архивные выпуски
Что такое RSS



Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки:
Год:
Том:
Выпуск:
Страница:
Найти






Персональный вход:
Логин:
Пароль:
Запомнить пароль
Войти
Забыли пароль?
Регистрация


Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 2015, том 19, номер 1, страницы 19–43 (Mi vsgtu1383)  

Дифференциальные уравнения и математическая физика

О задаче Дирихле для эллиптического уравнения

А. К. Гущин

Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва, 119991, Россия

Аннотация: Хорошо известно, что естественно возникающее из вариационных принципов и удобное в применении понятие обобщённого решения из соболевского пространства $W_2^1$ задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка не является в буквальном смысле обобщением понятия классического решения: не любая непрерывная на границе области функция является следом функции из $W_2^1$. Обобщение обоих этих понятий было предложено в 1976 году Валентином Петровичем Михайловым, памяти которого посвящена настоящая работа. В определении Михайлова граничное значение решения берется из $L_2$; естественно обобщается это понятие и на случай граничной функции из $L_p$, $p > 1$. Впоследствии автором настоящей работы было доказано, что при выполнении не слишком обременительных условий такие решения обладают свойством $(n-1)$-мерной непрерывности. Это свойство аналогично классическому определению равномерной непрерывности, но вместо значения функции в точке следует рассматривать её следы на мерах из специального класса, немного более узкого, чем класс мер Карлесона. След функции на мере является элементом пространства $L_p$ по этой мере. $(n-1)$-мерная непрерывность означает, что следы на мерах близки, если близки эти меры. Определение близости мер учитывает близость (в специальном смысле) их носителей, а расстояние между следами (они элементы различных пространств) вводится с помощью погружения в пространство функций удвоенного числа переменных. Свойство $(n-1)$-мерной непрерывности позволило дать другое, по форме весьма близкое к классическому определение решения — $(n-1)$-мерно непрерывное решение. Как и понятия классического и обобщённого решений оно не требует условий гладкости границы рассматриваемой области. В отличие от случаев классического и обобщённого решений задача Дирихле в постановке Михайлова и тем более с $(n-1)$-мерно непрерывным решением исследована недостаточно полно. Прежде всего это относится к условиям на правую часть уравнения, при которых задача Дирихле разрешима. В работе приведён ряд новых результатов в этом направлении. Кроме того, обсуждаются условия на коэффициенты уравнения, границу ограниченной области, в которой рассматривается задача, и заданные граничные значения решений. При этом результаты о разрешимости и о граничном поведении решений сравниваются с аналогичными теоремами, относящимися к случаю классического и обобщённого решений, обсуждаются некоторые возникающие при таком сравнении нерешённые задачи.

Ключевые слова: эллиптическое уравнение, задача Дирихле, функциональное пространство

Финансовая поддержка Номер гранта
Российский фонд фундаментальных исследований 13-01-00065-а
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13–01–00065-а).


DOI: https://doi.org/10.14498/vsgtu1383

Полный текст: PDF файл (913 kB) (публикуется на условиях лицензии Creative Commons Attribution 4.0 International)
Список литературы: PDF файл   HTML файл

Реферативные базы данных:

Тип публикации: Статья
УДК: 517.956.223
MSC: 35J25
Поступила в редакцию 19/XII/2014
в окончательном варианте – 05/II/2014

Образец цитирования: А. К. Гущин, “О задаче Дирихле для эллиптического уравнения”, Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки, 19:1 (2015), 19–43

Цитирование в формате AMSBIB
\RBibitem{Gus15}
\by А.~К.~Гущин
\paper О задаче Дирихле для эллиптического уравнения
\jour Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки
\yr 2015
\vol 19
\issue 1
\pages 19--43
\mathnet{http://mi.mathnet.ru/vsgtu1383}
\crossref{https://doi.org/10.14498/vsgtu1383}
\zmath{https://zbmath.org/?q=an:06968946}
\elib{http://elibrary.ru/item.asp?id=23681740}


Образцы ссылок на эту страницу:
  • http://mi.mathnet.ru/vsgtu1383
  • http://mi.mathnet.ru/rus/vsgtu/v219/i1/p19

    ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru


    Citing articles on Google Scholar: Russian citations, English citations
    Related articles on Google Scholar: Russian articles, English articles

    Доклады по теме:
  • Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: Физико-математические науки
    Просмотров:
    Эта страница:413
    Полный текст:120
    Литература:44
     
    Обратная связь:
     Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019