Матричный формализм кодов Рида–Соломона

Предлагаются модификации алгоритмов кодирования и исправления ошибок (отказов и скрытых повреждений), используемых в кодах Рида–Соломона. Эти модификации используют матричный формализм и основаны на алгоритме обращения матрицы Вандермонда Для матрицы $ V=[ \lambda_j^{i-1} ]_{i,j=1}^{n} $ предлагаемый алгоритм вычисляет столбцы $ V_{[1]}^{-1},…, V_{[n-1]}^{-1}, V_{[n]}^{-1} $ матрицы $ V^{-1} $ рекурсивно, начиная с последнего, по формулам
$$ V_{[n]}^{-1}=\Xi_0, V_{[j]}^{-1}=\Xi_{n-j}- \sigma_1 V_{[j+1]}^{-1} - \sigma_2 V_{[j+2]}^{-1}- …- \sigma_{n-j} V_{[n]}^{-1} ,  j=n-1,n-2,…,1 , $$
где $ \Xi_k=[\lambda_1^k/W^{\prime}(\lambda_1),…, \lambda_n^k/W^{\prime}(\lambda_n) ]^{\top}, \sigma_k = \sum_{j=1}^n \lambda_j^{n+k-1}/W^{\prime}(\lambda_j) $, $ k=\overline{1,n} $, а $ W(x)=\prod_{k=1}^n (x-\lambda_k) $. Полученный результат предлагается использовать для реализации систематического кодирования вектора из $ n $ информационных блоков посредством операции умножения (в подходящем поле Галуа) его на матрицу $ \mathbf K=[\widetilde{W_i}(a^{N-j-1})], i=\overline{1,m}, j=\overline{0,n-1} $. Здесь $ \widetilde{W_\ell} (x),\ell=\overline{1,m} $, означают базовые интерполяционные полиномы Лагранжа, порожденные степенями примитивного элементами поля, а $ m $ – количество служебных блоков (синдромов). В этой же идеологии реализуется и процедура исправления ошибок. Программная реализация на языке C демонстрирует рост производительности в сравнении с известными специализированными программными продуктами, а также допускает возможность параллелизации. Библиогр. 17 назв. Ил. 1.