Алгебраические группы преобразований; теория инвариантов; алгебраические группы, группы Ли, алгебры Ли и их представления; алгебраическая геометрия; группы автоморфизмов алгебраических многообразий; дискретные группы, порожденные отражениями

Окончил механико-математический факультет МГУ в 1969 г. (кафедра высшей алгебры). Кандидат физико-математических наук (1972 г.), доктор физико-математических наук (1984 г.), профессор (1986 г.). В 1995–2012 гг. заведующий кафедрой алгебры и математической логики МИЭМ (0,5 ставки с 2002 г.). С 2012 г. профессор кафедры прикладной математики МИЭМ-ВШЭ (0,5 ставки). С января 2002 г. ведущий научный сотрудник, а с мая 2017 г. главный научный сотрудник отдела алгебры Математического института им. В.А. Стеклова РАН (основное место работы).

Приглашенный докладчик на Международном конгрессе математиков в Беркли, США (1986 г.). Результатам 1982–1983 гг. посвящен доклад Ж. Диксмье на Семинаре Н. Бурбаки (J. Dixmier, Quelques résults de finitude en théorie des invariants (d'après V. L. Popov), Séminaire Bourbaki, 38ème année 1985–86, no. 659, pp. 163–175).

Основной (core) член панели «Секция 2. Алгебра» Программного комитета Международного конгресса математиков 2010 г. (2008–2010 гг.)

Fellow of the American Mathematical Society (избран в ноябре 2012), см. http://www.ams.org/profession/fellows-list-institution

Член-корреспондент РАН (избран в октябре 2016).

Приглашенный пленарный докладчик на 15 австро-германском Математическом конгрессе (Ősterreichische Mathematische Gesellschaftndash;15 Kongress, Jahrestagung der Deutschen Mathematikervereinigung), Вена, 2001 г.

Honorable International John-von-Neumann Professur awarded by Technische Universität München, Германия (2008 г.). Invited Noted Scholar, Heidelberg University, Германия (1998–1999 гг.). Invited Noted Scholar, University of British Columbia, Vancouver, Канада (1996 г.).

Приглашенный докладчик на международных коллоквиумах и конференциях в России, Франции, Великобритании, Италии, Германии, США, Канаде, Японии, Швейцарии, Израиле, Голландии, Бельгии, Испании, Норвегии, Швеции, Индии, Австралии, Сингапуре, Венгрии, Польше, Аргентине, Уругвае, в том числе на международном коллоквиуме в честь Ж. Диксмье (Париж, 1989 г.), на международной конференции в честь 150-летия рождения Софуса Ли (Осло, 1992 г.), на специальных ежегодных сессиях Американского математического общества в Чикаго (1995 г.) и Луисвилле (1998 г.), на международном коллоквиуме "Алгебра, арифметика, геометрия" (Тата институт высших исследований, Бомбей, 2000 г.), на международной конференции в честь 80-летия Б. Костанта (Ванкувер, 2008 г.).

Honorable Colligwood Lecture в Durham University, Великобритания (2007 г.).

Читал курсы "Теория инвариантов", "Дискретные группы, порожденные комплексными отражениями", "Алгебраические группы преобразований и особенности алгебраических многообразий", "Алгебраические группы", "Алгебраическая геометрия" по приглашению ряда ведущих математических центров Германии (Universität Heidelberg, TUM), Швейцарии (ETH Zürich), Голландии (Utrecht University), США (University of Michigan), Канады (UBC), Австрии (The Erwin Schrödinger Institute, Innsbruck University), Австралии (Sydney University), Швеции (Lund University).

Ответственный ведущий редактор (Executive Managing Editor) журнала Transformation Groups (с 1996 г.), издательство Birkhäuser Boston. Член редколлегий журналов Известия РАН, серия математическая (с 2006 г.) и Математические заметки (с 2003 г.), издательство РАН, Journal of Mathematical Sciences (c 2001 г.), издательство Springer, European Mathematical Society Newsletter (c января 2015 г.), издательство EMS, Geometriae Dedicata (с 1989 по1999 гг), издательство Kluwer. Организатор и титульный редактор се­рии "Invariant Theory and Algebraic Transformation Groups" в Encyclopaedia of Mathematical Sciences издательства Springer (с 1998 г.).

Член Правления Московского Математического общества (1998–2000).

Более 150 публикаций, среди них 4 монографии, 1 учебник и статьи в Annals of Mathematics, Journal of the American Mathematical Society, Compositio Mathematica, Transformation Groups, Известия РАН, серия математическая, Математический сборник, Journal fur die reine und angewandte Mathematik, Commentarii Mathematici Helvetici, Contemporary Mathematics, Journal of Algebra, Функциональный анализ и его приложения, Comptes Rendus de l'Academie des Sciences Paris, Труды Московского математического общества, Indagationes Mathematicae, Математические заметки, Успехи математических наук, Journal of the Ramanujan Mathematical Society, Documenta Mathematica, Pacific Journal of Mathematics, European Journal of Mathematics. Результаты вошли во многие монографии и учебники (D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory; H. Kraft, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie; H. Derksen, G. Kemper, Computational Invariant Theory; F. Grosshans, Algebraic Homogeneous Spaces and Invariant Theory; H. Kraft, P. Slodowy, T. A. Springer, Algebraic Transformation Groups and Invariant Theory; W. F. Santos, A. Rittatore, Actions and Invariants of Algebraic Groups; B. Sturmfels, Algorithms in Invariant Theory; G. Freudenburg, Algebraic Theory of Locally Nilpotent Derivations; M. Lorenz, Multiplicative Invariant Theory; E. A. Tevelev, Projective Duality and Homogeneous Spaces и другие).

Организатор ряда международных конференций, в том числе семестра по алгебраическим группам преобразований в The Erwin Schrödinger Institute, Вена (совместно с Б. Костантом, 2000 г.) и конференции "Интересные алгебраические многообразия, возникающие в теории алгебраических групп преобразований" (The Erwin Schrödinger Institute, Вена, 2001 г.).

Организатор (Principal Investigator) совместного российско-американского CRDF проекта "Алгебраические группы преобразований и приложения" (1996–1998 гг.). Руководитель российской команды совместного швейцарско-французско-российского INTAS проекта "Алгебраические группы преобразований с приложениями в теории представлений и алгебраической геометрии" (1998–2000 гг.)

Первая премия на конкурсе студенческих работ, мех-мат МГУ (1969 г.)

=============================

Среди полученных результатов:

● Критерий замкнутости орбиты общего положения, относящийся к базисным фактам современной теории инвариантов (1970–72).

● Пионерские результаты современной теории вложений (компактификаций) однородных алгебраических многообразий (в частности, торических и сферических), определившие ее бурное современное развитие (1972–73).

● Вычисление группы Пикара любого однородного алгебраического многообразия любой линейной алгебраической группы (1972–74).

● Создание нового направления в теории инвариантов — классификации линейных действий с определенными исключительными свойствами: свободной алгеброй инвариантов (совм. с В. Г. Кацем и Э. Б. Винбергом), свободным модулем ковариантов, равноразмерным фактором и др. Разработка соответствующих методов и получение самих классификаций. Теоремы конечности для действий с фиксированной длиной цепи сизигий (1976–83). Идеология исключительных свойств получила затем широкое распространение.

● Решение обобщенной 14 проблемы Гильберта (1979).

● Впервые через 100 лет после попытки Гильберта получение оценок на степени базисных инвариантов связных полупростых линейных групп, положившее начало современной конструктивной теории инвариантов (1981–82).

● Разработка теории стягиваний любых действий к орисферическим, ставшей неотъемлемым инструментом современной теории алгебраических групп преобразований (1986).

● Пионерские результаты по описанию алгебраических подгрупп аффинной группы Кремоны, обусловившие всплеск активности в этой области в последние несколько десятилетий (1986–2011).

● Характеризация линейных алгебраических групп как групп автоморфизмов простых конечномерных (не обязательно ассоциативных) алгебр (2003, совм. с Н. Л. Гордеевым). В частности, распространение на любые конечные группы знаменитой характеризации наибольшей простой спорадической конечной группы (Монстра Фишера–Грайса). Этот результат опубликован в Annals of Mathematics и вошел в число лучших по МИАН в 2002 г.

● Построение (2005, совм. с N. Lemire, Z. Reichstein) теории явления, открытого в 1846 г. Кэли: классификация алгебраических групп, допускающих бирациональное эквивариантное отображение на свою алгебру Ли. Решение старой (1975) проблемы о классификации кэлиевых унимодулярных групп. Этот результат опубликован в Journal of the American Mathematical Society и вошел в число лучших по РАН в 2005 г.

● Классификация простых алгебр Ли, поле рациональных функций которых чисто трансцендентно над подполем присоединенных инвариантов (2010, совм. с J.-L. Colliot-Thélène, B. Kunyavskiĭ, Z. Reichstein). Этот результат лежит в основе контрпримеров к знаменитой гипотезе Гельфанда–Кириллова 1966 г. о телах частных универсальных обертывающих алгебр простых алгебр Ли. Он опубликован в Compositio Mathematica и вошел в число лучших по МИАН в 2010 г.

● Ответы на старые (1969) вопросы Гротендика Серру о сечениях и факторах для действий полупростых алгебраических групп на себе сопряжениями. Нахождение минимальных систем образующих алгебр функций классов и колец представлений любых таких групп (2011).

● Решение поставленной в 1965 г. А. Борелем проблемы классификации бесконечных дискретных групп, порожденных комплексными аффинными унитарными отражениями; исследование их замечательных связей с теорией чисел, комбинаторикой, теорией кодирования, алгебраической геометрией и теорией особенностей (1980–82, 2005).

===============================

О полученных результатах (цитаты):

● Из введения к книге J. Olver, Classical Invariant Theory, London Math. Soc. Student Texts 44, Cambridge Univ. Press, 1999:

``[…] a vigorous, new Russian school of invariant theorists, led by Popov [181] and Vinberg [226] who have pushed the theory into fertile new areas. […]"

● О монографии Popov, V. L. Groups, Generators, Syzygies, and Orbits in Invariant Theory. Transl. of Math. Monographs, 100. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992. vi+245 pp.:

— Из рецензии G. Schwarz (Bull of Amer. Math. Soc., 29 (1993), no. 2, 299–304):

``[…] Popov is a leader in Invariant theory, and the articles in this book were important to that field’s development. […]’’

``[…] There has been an explosion of activity in this area over the last ten years. Popov's work was seminal. […]’’

— Из рецензии M. Brion (Math. Reviews 92g:14054) :

``[… ] The author’s results have been the starting point for research trends in invariant theory: for example, classification of representations of semisimple groups with ``good " properties, and also embedding theory of homogeneous spaces. […]’’

● О работе Э. Б. Винберг, В. Л. Попов, Теория инвариантов, Итоги науки и техн., Совр. пробл. матем., Фунд. направл. , т. 55, ВИНИТИ, М., 1989, 137—314, англ. перевод.: V. L. Popov, E. B. Vinberg, Invariant Theory, Encycl. Math. Sci., Vol. 55, Springer-Verlag, Berlin, 1994, pp. 123–284:

— Из рецензий N. Andruskiewitsch (Zentralblatt Math. 735.14010):

``[…] The paper under review, written by two of the main contributors in this last period, […] should be considered as a book, which is probably the format it would have if translated. […]"

— Из рецензий P. E. Newstead (Math. Reviews 92d:14010):

``This article is […] by two of today’s leading experts in the field and will undoubtedly serve as a major source of information on the subject. […]"

● Из статьи Y. André, Solution algebras of differential equations and quasi-homogeneous varieties: a new differential Galois correspondence, Ann. Sci. Ec. Norm. Sup. (4) 47 (2014), no. 2, 449--467:

``After pioneering work by Grosshans, Luna, Popov, Vinberg and others in the seventies, the study of quasi-homogeneous G-varieties, i.e., algebraic G-varieties with a dense G-orbit, has now become a rich and deep theory.’’

● Из статьи D. Luna et Th. Vust, Plongements d’espaces homogènes, Comment. Math. Helvetici 58 (1983), 186—245:

``Nous devons notre point de départ bien évidemment à la théorie des plongements toriques ([5], [6]), mais aussi à article [10] de V. L. Popov, dans lequel est donnée la classification des espaces presque-homogènes affines normaux sous SL(2)’’ (здесь [10] — ссылка на работу В. Л. Попов, Квазиоднородные аффинные алгебраические многообразия группы SL(2)”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:4 (1973), 792–832).

● Из предисловия к гл. III книги Х. Крафт, Геометрические методы в теории инвариантов, М., Мир, 1987:

``[…] Венцом всей нашей деятельности служит приводимая в заключительном §4 полная классификация так называемых SL(2)-вложений, т.е. тех аффинных SL(2)-многообразий, которые содержат плотную орбиту. Этот прекрасный результат принадлежит В. Л. Попову [ПВ1]’ '' (здесь [ПВ1]’ — ссылка на работу В. Л. Попов, “Квазиоднородные аффинные алгебраические многообразия группы SL(2)”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 37:4 (1973), 792–832).

● Из книги Algebraic Transformation Groups and Invariant Theory, DMV Seminar, Band 13, Birkhäuser, 1989, p. 72:

``In this paragraph we explain some classical results about the Picard group Pic G ([…]; [Po74]; […])" (здесь [Po74] — ссылка на работу В. Л. Попов, Группы Пикара однородных пространств линейных алгебраических групп и одномерные однородные векторные расслоения, Изв. АН СССР, сер. мат. 38 (1974), 294–322).

● Из статьи H. Derksen, H. Kraft, Constructive Invariant theory, in: Algèbre Non Commutative, Groupes Quantiques et Invariants (Reims, 1995), Sémin. Congr., Vol. 36, Soc. Math. France, Paris, 1997, pp. 221–244:

``It took almost a century until Vladimir Popov determined a general bound for β(V ) for any semi-simple group G ([Pop 81/82])" (здесь [Pop 81/82] — ссылка на работы V. Popov, Constructive Invariant theory, Astérisque 87–88 (1981), 303–334, и В. Л. Попов, Конструктивная теория инвариантов, Изв. АН СССР, сер. мат. 45 (1981), 1100–1120).

● Из статьи J. Elmer, M. Kohls, Zero-separating invariants for finite groups, J. Algebra 411 (2014), 92–113:

```One of the most celebrated results of 20th century invariant theory is the theorem of Nagata [12] and Popov [13] which states that k[X]^G is finitely generated for all affine G-varieties X if and only if G is reductive'' (здесь [13] — ссылка на работу В. Л. Попов, К теореме Гильберта об инвариантах, ДАН СССР, 249:3 (1979), 551–555).

● Из книги (стр. 161) D. Mumford, J. Fogarty, Geometric Invariant Theory, 2nd ed., Ergebnisse der Math. Und ihrer Grenzgebiete, Bd. 34, Springer-Verlag, Berlin, 1982:

``[…] The striking result due to Kac, Popov, Vinberg ([…], [166], […]) is the following Theorem […]‘’ (здесь [166] — ссылка на работу V. G. Kac, V. L. Popov, E. B. Vinberg, “Sur les groupes linéaires algébriques dont l'algèbre des invariants est libre”, C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A-B, 283:12 (1976), A875–A878).

● Из статьи H. Flenner, M. Zaidenberg, Locally nilpotent derivations on affine surfaces with a C-action, Osaka J. Math. 42 (2005), no. 4, 931–974:

``By classical results […] of Popov [Po], […]" (здесь [Po] — ссылка на работу В. Л. Попов, Классификация аффинных алгебраических поверхностей, квазиоднородных относительно алгебраической группы, Изв. АН СССР, сер. мат. 37 (1973), 1038–1055).

● Из статьи L. E. Renner, Orbits and invariants of visible group actions, Transform. Groups 17 (2012), no. 4, 1191–1208:

``We now introduce the following definition (Definition 1.10 below). It is one of the key notions in the study of invariants.[...] The notion of a stable action was first introduced in [7] by V. L. Popov. There he establishes a criterion of stability for semisimple groups (Theorem 1 of [7])‘’ (здесь Definition 1.10 — определение стабильного действия, а [7] — ссылка на работу В. Л. Попов, О стабильности действия алгебраической группы на алгебраическом многообразии, Изв. АН СССР, сер. мат. 36 (1972), 371–385).

● Из статьи N. Perrin, On the geometry of spherical varieties, Transform. Groups 19 (2014), no. 1, 171–223:

``It is a classical problem to ask which product of projective rational homogeneous spaces $\prod_i G/P_i$ has a dense G-orbit. This is solved in [141] if all the parabolic subgroups agree‘’ (здесь [141] — ссылка на работу V. L. Popov, Generically multiple transitive algebraic group actions, in: Proceedings of the International Colloquium on Algebraic Groups and Homogeneous Spaces (Mumbai, 2004), Tata Institute of Fundamental Research, Vol. 19, Narosa, internat. distrib. by AMS, New Delhi, 2007, pp. 481–523).

1. N. Lemire, V. L. Popov, Z. Reichstein, “Cayley groups”, J. Amer. Math. Soc., 19:4 (2006), 921–967            
2. N. L. Gordeev, V. L. Popov, “Automorphism groups of finite dimensional simple algebras”, Ann. of Math. (2), 158:3 (2003), 1041–1065            
3. V. L. Popov, Groups, generators, syzygies, and orbits in invariant theory, Translations of Mathematical Monographs, 100, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1992 , vi+245 pp.    
4. V. L. Popov, “Modern developments in invariant theory”, Proceedings of the International Congress of Mathematicians (Berkeley, Calif., 1986), v. 1, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987, 394–406  
5. V. L. Popov, Discrete Сomplex Reflection Groups, Lectures delivered at the Math. Institute Rijksuniversiteit Utrecht in October 1980, Commun. Math. Inst. Rijksuniv. Utrecht, 15, Rijksuniversiteit Utrecht Mathematical Institute, Utrecht, 1982 , 89 с.    

• Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
• Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва
• Московский институт электроники и математики им. А. Н. Тихонова – Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики"
• Московское математическое общество