RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям, 2015
30 января 2015 г. 10:35, г. Москва, МИАН, 9 этаж, конференц-зал
 


О постоянной Каталана

Ю. В. Нестеренко

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Видеозаписи:
Flash Video 201.7 Mb
Flash Video 1,208.7 Mb
MP4 201.7 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:286
Видеофайлы:112

Ю. В. Нестеренко


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Постоянная Каталана $G=0.915965594177\ldots$ - одна из классических математических постоянных, может быть определена каждой из сумм
$$ G=\sum\limits_{k = 0}^{+\infty}\frac{(-1)^{k}}{(2k+1)^{2}} = \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 0}^{+\infty} \frac{4^{k}}{(2k+1)^{2}}\binom{2k}{k}^{-1}. $$
Предположительно она иррациональна, но это до сих пор не доказано. Практически все подходы для доказательства иррациональности чисел основаны на конструкциях достаточно хороших рациональных приближений к этим числам. В последние годы в работах В.В. Зудилина, Т. Ривоаля и К. Краттенталера были предложены некоторые методы построения рациональных чисел, приближающих постоянную Каталана. Известно, что для каждого действительного числа $\alpha$ неравенство
$$ |\alpha- \frac{p}{q}| \leqslant \frac{1}{q} $$
имеет бесконечно много решений в рациональных числах $p/q$. Для доказательства иррациональности $\alpha$ достаточно доказать сформулированное выше утверждение c величиной $\varepsilon q^{-1}$ в правой части при любом $\varepsilon>0$. Случаи, когда это удаётся сделать, крайне редки. Например, для постоянной Каталана это сделать не удаётся. Мы расскажем в докладе об одной эффективной конструкции диофантовых приближений к $G$, основанной на представлении гипергеометрической функции $_{3}F_{2}$ со специально подобранными параметрами в виде ряда и в виде двойного интеграла типа Эйлера по единичному кубу. Непосредственная работа с функцией $_{3}F_{2}$ позволяет существенно упростить доказательства имеющихся в этой области результатов и существенно расширить возможности метода. В частности, таким способом эффективно строится бесконечная последовательность рациональных чисел, удовлетворяющих неравенству
$$ |\alpha- \frac{p}{q}| \leqslant q^{- 1/2}. $$
Конечно, эта последовательность рациональных приближений недостаточна для доказательства иррациональности $G$, но результаты такого типа позволяют сравнивать между собой качество различных конструкций. Некоторое усовершенствование доказывает и более точный результат с оценкой $q^{-11/20}$ в правой части. К сожалению, в доказательстве последнего утверждения присутствует одно свойство конструкции, проверенное на компьютере для достаточно большого множества возможных параметров, но не доказанное нами.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017