RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
28 мая 2015 г. 17:30, Функциональные пространства, г. Москва, МИАН
 


О неравенствах в суперрефлексивных пространствах Бесова

А. Н. Агаджанов

Институт проблем управления им. В. А. Трапезникова РАН
Материалы:
Adobe PDF 233.3 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:55
Материалы:23

Аннотация: Среди банаховых пространств важное место занимают пространства Бесова [1], [2]. В настоящем докладе пространства Бесова рассматриваются с позиций теории суперрефлексивных банаховых пространств [3], [4]. Такой подход позволяет получить неравенства для норм в суперрефлексивных пространствах Бесова. Прежде чем переходить к описанию результатов данного доклада, приведем необходимые определения. Пусть задана пара банаховых пространств $X$ и $Y$. Зафиксируем натуральное $n$ и рассмотрим совокупность всех $n$-мерных нормированных подпространств $X_n \subset X$ и $Y_n \subset Y$. Между пространствами $X_n $ и $Y_n $ всегда можно установить изоморфизм, то есть линейное биективное и взаимно непрерывное соответствие. Мерой близости между $X_n $ и $Y_n $ принято считать дистанцию Банаха–Мазура $d(X_n ,Y_n )=\inf \{\| T \|\cdot \| {T^{-1}} \|\}$, где нижняя грань берется по всем изоморфизмам $T$ между $X_n $ и $Y_n $.
Definition ([3], [4]). Пусть $\varepsilon >0$. Нормированное пространство $Y$ называется $\varepsilon $-финитно представимым в нормированном пространстве $X$, если для каждого конечномерного подпространства $Y_n \subset Y$ найдется подпространство той же размерности $X_n \subset X$ такое, что $d(X_n ,Y_n )\leqslant 1+\varepsilon $.
Definition ([3], [4]). Банахово пространство $Y$ называется финитно представимым в банаховом пространстве $X$, если оно $\varepsilon$-финитно представимо при любом $\varepsilon >0$.
Definition ([3], [4]). Банахово пространство $X$ называется суперрефлексивным, если любое банахово пространство $Y$, финитно представимое в $X$, является рефлексивным. Проверить факт финитной представимости банахова пространства $Y$ в банаховом пространстве $X$довольно часто является далеко не простой задачей. Вот почему особое место в теории суперрефлексивных банаховых пространств занимает Теорема Энфло [N280:5]. Банахово пространство $X$ с уперрефлексивно тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих равносильных условий:
а) среди норм, эквивалентных на $X$, существует равномерно выпуклая норма;
б) среди норм, эквивалентных на $X$, существует равномерно гладкая норма.
Напомним определения равномерно выпуклой и равномерно гладкой норм в банаховых пространствах. Пусть $B_X =\{u\in X:\| u \|_X =1\}$ — единичная сфера в банаховом пространстве $(X,\| \cdot \|_X )$. Модулем выпуклости этого пространства называют функцию
$$ \delta _X (\varepsilon )=\inf (1-\frac{\| {u-v} \|_X }{2}:u, v\in B_X ,  \| {u-v} \|_X \geqslant \varepsilon), $$
где $0<\varepsilon \leqslant 2$. Банахово пространство $X$ называется равномерно выпуклым, если $\delta _X (\varepsilon )>0$ при $0<\varepsilon \leqslant 2$. Модулем гладкости пространства $X$ называется функция
$$ \rho _X (\tau )=\sup \{\frac{\| {u+\tau v} \|_X +\| {u-\tau v} \|_X }{2}-1: u, v\in B_X \}. $$
Банахово пространство $X$ называется равномерно гладким, если $\lim _{\tau \to 0^+} \frac{\rho _X (\tau )}{\tau }=0$. Пусть $-\infty <s<+\infty $, $1<p<\infty $, $1<q<\infty $.
Definition ([1], [2]). Пространством Бесова $B_{p, q}^s (R^n)$ назовем банахово пространство вида
$$ (B_{p,q}^s (R^n),\| u \|_{p,q,s} ) =\{ u\in {S}'(R^n):\| u \|_{p,q,s} = ( \sum_{j=0}^\infty {2^{jqs}} \| {u\ast \varphi _j } \|_{L_p (R^n)}^q )^{1/q}<+\infty \}, $$
где ${S}'(R)$ — пространство медленно растущих обобщенных функций, а $\{ {\varphi _j } \}$ — специально выбранная система функций (способ построения таких функций приведен, например, в [2]). Норму $\| \cdot \|_{p, q, s} $ в дальнейшем будем называть канонической.
Прежде чем сформулировать основную Теорему доклада, приведем необходимые факты, связанные с неравенством Кларксона–Боаса [6]. Пусть $X$ — банахово пространство. Будем говорить, что на $X$ выполняется неравенство Кларксона–Боаса, если для любых элементов $u,v\in X$ справедливо неравенство
$$ ( \| {u+v} \|_X^r +\| {u-v} \|_X^r )^{1/r} \leqslant 2^{1/t'} ( {\| u \|_X^t +\| v \|_X^t } )^{1/t}, $$
где $r$, $t$, ${t}'$ — некоторые константы, причем $1<r$, ${t}'<\infty $ и $\tfrac{1}{t}+\tfrac{1}{{t}'} =1$. Имеет место
Theorem. Пространства Бесова $(B_{p,q}^s (R^n),\| u \|_{p,q,s} )$ являются равномерно выпуклыми и равномерно гладкими банаховыми пространствами. В этих пространствах выполняются неравенства Кларксона–Боаса, а для модулей выпуклости $\delta _{p,q,s} (\varepsilon )$ и модулей гладкости $\rho _{p,q,s} (\tau )$ канонической нормы $\| \cdot \|_{p,q,s} $ имеют место следующие соотношения:
\begin{gather*} \mathrm{а)}\quad ( {\| {u+v} \|_{p,q,s}^q +\| {u-v} \|_{p,q,s}^q })^{1/q} \leqslant 2^{1/q}( {\| u \|_{p,q,s}^{{q}'} +\| v \|_{p,q,s}^{{q}'} })^{1/q'},
\delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-( {\frac{\varepsilon }{2}})^q)^{1/q},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^{{q}'})^{1/q'}-1, \end{gather*}
где $1<p\leqslant 2$, ${p}'\leqslant q$;
\begin{gather*} \mathrm{б)}\quad ( \| {u+v} \|_{p,q,s}^{{p}'} +\| {u-v} \|_{p,q,s}^{{p}'} )^{1/p'} \leqslant 2^{1/p'}( \| u \|_{p,q,s}^p +\| v \|_{p,q,s}^p )^{1/p},
\delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-( \frac{\varepsilon }{2})^{{p}'})^{1/p'},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^p)^{1/p}-1, \end{gather*}
где $1<p\leqslant 2$, $p\leqslant q\leqslant {p}'$;
\begin{gather*} \mathrm{в)}\quad ( {\| {u+v} \|_{p,q,s}^{{q}'}+\| {u-v} \|_{p,q,s}^{{q}'} })^{1/q'} \leqslant 2^{1/q'}( {\| u \|_{p,q,s}^q +\| v \|_{p,q,s}^q })^{1/q},
\delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-( {\frac{\varepsilon }{2}})^{{q}'})^{1/q'},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^q)^{1/q}-1, \end{gather*}
где $1<p\leqslant 2$, $1<q\leqslant p$;
\begin{gather*} \mathrm{г)}\quad ( {\| {u+v} \|_{p,q,s}^q +\| {u-v} \|_{p,q,s}^q })^{1/q} \leqslant 2^{1/q}( {\| u \|_{p,q,s}^{{q}'} +\| v \|_{p,q,s}^{{q}'} })^{1/q'},
\delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-( {\frac{\varepsilon }{2}} )^q)^{1/q},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^{{q}'})^{1/q'}-1, \end{gather*}
где $2\leqslant p<+\infty $, $p\leqslant q<+\infty $;
\begin{gather*} \mathrm{д)}\quad ( {\| {u+v} \|_{p,q,s}^p +\| {u-v} \|_{p,q,s}^p })^{1/p} \leqslant 2^{1/p}( {\| u \|_{p,q,s}^{{p}'} +\| v \|_{p,q,s}^{{p}'} })^{1/p'},
\delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-( {\frac{\varepsilon }{2}} )^p)^{1/p},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^{{p}'})^{1/p'}-1, \end{gather*}
где $2\leqslant p<+\infty $, ${p}'\leqslant q\leqslant p$;
\begin{gather*} \mathrm{е)}\quad ( {\| {u+v} \|_{p,q,s}^{{q}'} +\| {u-v} \|_{p,q,s}^{{q}'} })^{1/q'} \leqslant 2^{1/q'}( {\| u \|_{p,q,s}^q +\| v \|_{p,q,s}^q })^{1/q},
\delta _{p,q,s} (\varepsilon )=1-(1-( {\frac{\varepsilon }{2}})^{{q}'})^{1/q'},\qquad \rho _{p,q,s} (\tau )=(1+\tau ^q)^{1/q}-1, \end{gather*}
где $2\leqslant p<+\infty $, $1<q\leqslant {p}'$.
Corollary. Пространство Бесова $B_{p, q}^s (R^n)$ является суперрефлексивным банаховым пространством.
Definition ([7]). Константой Неймана–Джордана $n$-го порядка ($n\geqslant 2)$ для банахова пространства $X$ называется величина
$$ C_{NJ}^{(n)} (X)=\sup \{ {\sum_{\theta _j =\pm 1} {\frac{\| {\sum_{j=1}^n {\theta _j u_j } } \|_X^2 } {2^n\sum_{i=1}^n {\| {u_i } \|_X^2 } }; \sum_{i=1}^n {\| {u_i } \|_X^2 \ne 0, u_i \in X} } } \}. $$

Какой будет константа Неймана–Джордана для суперрефлексивных пространств Бесова, например, при $1<p\leqslant 2$, ${p}'\leqslant q$? (Остальные случаи могут быть рассмотрены аналогично.)
Corollary. При $1<p\leqslant 2$, ${p}'\leqslant q$ имеет место
$$ C_{NJ}^{(n)} (B_{p,q}^s (R^n), \| \cdot \|_{p,q,s} )=n^{\frac{2}{{q}'}-1}. $$
При каждом $n\geqslant 2$ справедливы неравенства
$$ \sum_{\theta _j =\pm 1} {\| {\theta _j u_j } \|_{p,q,s}^2 \leqslant 2^n\cdot n} ^{\frac{2}{{q}'}-1}\cdot \sum_{i=1}^n {\| {u_i } \|_{p,q,s}^2 } , $$
где $\sum_{i=1}^n {\| {u_i } \|_{p,q,s}^2 \ne 0} $, $u_i \in B_{p,q}^s (R^n)$, $1\leqslant j\leqslant n$.
Пусть $| \cdot |_{p,q,s} $ — произвольная норма на $B_{p,q}^s (R^n)$, эквивалентная канонической норме $\| {\cdot } \|_{p,q,s} $. Зафиксируем $1<p\le 2-\Delta$, $p<q$ (остальные случаи могут быть рассмотрены аналогично), где $\Delta$ – сколь угодно малое положительное число.
Corollary. Существует константа $D>0$, зависящая, вообще говоря, от параметров $n$, $p$, $q$, $s$, $\Delta $ и нормы $| \cdot |_{p,q,s} $, но не зависящая от $u$ и $v$ такая, что выполняется неравенство
$$ |,u+v|_{p,q,s}^{p+\Delta } +D| {u-v} |_{p,q,s}^{p+\Delta } \leqslant (1+\Delta )\cdot 2^{p+\Delta -1}( {| u |_{p,q,s}^{p+\Delta } +| v |_{p, q, s}^{p+\Delta } } ). $$


Материалы: abstract.pdf (233.3 Kb)

Список литературы
  1. Х. Трибель, Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы, Мир, М., 1980  mathscinet
  2. Х. Трибель, Теория функциональных пространств, Мир, М., 1986  mathscinet
  3. R. C. James, Canad. J. Math., 24,:5 (1972), 896–904  crossref  mathscinet  zmath
  4. М. И. Кадец, “Геометрия нормированных пространств”, Итоги науки и техн. Сер. Мат. анал., 13, ВИНИТИ, М., 1975, 99–127  mathnet  mathscinet  zmath
  5. P. Enflo, Israel J. Math, 3 (1972), 281–288  crossref  mathscinet  scopus
  6. R. P. Boas, Bull. Amer. Math. Soc., 46 (1940), 304–311  crossref  mathscinet  zmath
  7. M. Kato, Y. Takahashi, K. Hashimoto, Bull Kyushu Inst. Tech. Pure Appl. Math., 1998, no. 45, 25–33  mathscinet  zmath


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017