RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
29 мая 2015 г. 14:55, Приближения функций и гармонический анализ, г. Москва, МИАН
 


Неравенства Винера–Ингама для лакунарных тригонометрических рядов

А. Г. Бабенко, В. А. Юдин

Институт математики и механики им. Н. Н. Красовского Уральского отделения РАН, г. Екатеринбург
Материалы:
Adobe PDF 223.5 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:69
Материалы:19

Аннотация: Тема, рассматриваемая в докладе, впервые появилась в исследованиях Н. Винера (1934) и существенно была развита А. Е. Ингамом (1936) и А. Сельбергом (1974).
Пусть $\mathbb{T}=[-\pi,\pi)$ – период длины $2\pi,$ $L^2=L^2(\mathbb{T})$ – пространство $2\pi$-периодических измеримых комплекснозначных функций с обычной нормой $\|f\|=\|f\|_{L^2}$. Для натурального числа $q\ge2$ обозначим через $D_q$ класс функций из $L^2$ c рядами Фурье вида
$$ f(x)=\sum_{k\in\mathbb Z}\widehat{f}_{\nu_k}e^{i\nu_k x},\quadвсе\quad \nu_k\in\mathbb{Z},\quad\nu_{k+1}-\nu_{k}\ge{q}. $$
Зафиксируем $h\in(0,\pi).$ Нас интересует в каких пределах может изменяться отношение
$$ \displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2 dx/\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2 dx $$
для $f\in D_q$? Здесь анонсируются оценки этого отношения в терминах величин
$$ \mathcal{E}^+_{n}(h):=\inf_{\tau\in\mathcal{T}_{n}, \chi_{ _h}\le\tau} \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}}\{\tau(x)-\chi_{ _h}(x)\} dx, $$

$$ \mathcal{E}^-_{n}(h):=\inf_{\tau\in\mathcal{T}_{n}, \tau\le{\chi_{ _h}}} \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{T}}\{\chi_{ _h}(x)-\tau(x)\} dx $$
наилучшего интегрального приближения соответственно сверху и снизу характеристической функции $\chi_{ _h}$ интервала $(-h,h)$ подпространством $\mathcal{T}_{n}$ тригонометрических полиномов порядка не выше ${n};$ неравенство $\chi_{ _h}\le\tau$ означает, что $\chi_{ _h}(x)\le\tau(x)$ при всех $x\in\mathbb{T}.$
Теорема. Пусть $q\in\mathbb N$, $q\ge2,$\; ${\pi}/{q}<{h}\le\pi$, $f\in D_q.$ Тогда
$$ \frac{1}{\frac{h}{\pi}+\mathcal{E}^+_{q-1}(h)}\le \frac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2 dx}{\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2 dx} \le\frac{1}{\frac{h}{\pi}-\mathcal{E}^-_{q-1}(h)}. $$

Заметим, что $\mathcal{E}^+_{n}(h)=\mathcal{E}^-_{n}(\pi-h)$ для $n\in\mathbb{N},$ $h\in(0,\pi);$ поэтому достаточно исследовать лишь одну из этих величин. Дж. Д. Ваалер (1985) доказал, что величина $\mathcal{E}^-_{n}(h)$ не превосходит ${1}/{(n+1)}$ при любых $n\in\mathbb{N}$, $h\in(0,\pi].$ Точное значение этой величины было найдено совместно авторами и Ю. В. Крякиным (2012), с помощью этого результата и теоремы получаем
Следствие. Пусть $q\in\{2,3,4,…\}$, $h=\frac{\pi+\varepsilon}{q},$ $0<\varepsilon<\pi$, $f\in{D_q}.$ Тогда
$$ \int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2dx\le (q+ctg \frac{\varepsilon}{2}ctg \frac{h}{2}) \int_{-h}^{h}|f(x)|^2 dx. $$

Положим
$$ \alpha_q(h):=\sup_{f\in{D_q},  \|f\|>0} \frac{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|f(x)|^2 dx}{\displaystyle\int_{-h}^{h}|f(x)|^2 dx}. $$
Справедливы равенства
$$ \lim_{h\to\frac{2\pi}{q}-0}\alpha_q(h)=q,\qquad \lim_{h\to\frac{2\pi}{q+1}-0}\alpha_q(h)=q+1. $$
Из первого равенства следует, что $\alpha_2(h)$ терпит разрыв в точке $h=\pi.$
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00702).

Материалы: abstract.pdf (223.5 Kb)

Список литературы
  1. Wiener N., “A class of gap theorems”, Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa, Classe di Scienze $2^e$ série, 3:3-4 (1934), 367–372  mathscinet  zmath
  2. Ingham A.E., “Some trigonometrical inequalities with applications to the theory of series”, Math. Z., 41:1 (1936), 367–379  crossref  mathscinet  zmath  scopus
  3. Selberg A., Collected papers, Volume II, Springer-Verlag, Berlin, 1991, viii+253 с.  zmath
  4. Vaaler J.D., “Some extremal functions in Fourier analysis”, Bull. Amer. Math. Soc. (New Series), 12:2 (1985), 183–216  crossref  mathscinet  zmath
  5. Бабенко А.Г., Крякин Ю.В., Юдин В.А., “Одностороннее приближение в $L$ характеристической функции интервала тригонометрическими полиномами”, Тр. ИММ УрО РАН, 18:1 (2012), 82–95  mathnet; Proc. Steklov Inst. Math. (Suppl.), 280, suppl. 1 (2013), 39–52  crossref  isi


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017