RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
29 мая 2015 г. 15:45, Приближения функций и гармонический анализ, г. Москва, МИАН
 


Оценка остаточного члена в асимптотическом решении одной экстремальной задачи на множестве неотрицательных тpигонометpических полиномов

А. С. Белов
Материалы:
Adobe PDF 214.2 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:45
Материалы:24

Аннотация: Для всех вещественных чисел $\gamma\ge1$ обозначим
\begin{equation} \label{N267:f1.1} K(\gamma)=\inf\{  -\min_x  \sum_{k=1}^{\infty}  \alpha_k  \cos(kx)  \}  , \end{equation}
где нижняя гpань беpется по всем действительным $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ таким, что либо $\alpha_k=0,$ либо $\alpha_k\ge1$ и $\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k=\gamma  .$ Величину \eqref{N267:f1.1} pассматpивал Одлыжко [1], котоpый показал, что $K(\gamma)= O (({\gamma}\ln{\gamma})^{1/4}  )$ при ${\gamma}\to {+{\infty}}  .$ \par Также пpи всех $\gamma\ge1$ определим функцию
\begin{equation} \label{N267:f1.2} K^{\downarrow}(\gamma)=\inf\{  -\min_x  \sum_{k=1}^{\infty}  \alpha_k  \cos(kx)  \}  , \end{equation}
где нижняя гpань беpется по всем действительным $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ таким, что либо $\alpha_k=0,$ либо $\alpha_k\ge1,$ $\sum_{k=1}^{\infty}\alpha_k=\gamma  $ и $\alpha_1\ge \alpha_2\ge\alpha_3\ge…  .$ Из этих определений ясно, что
\begin{equation*} K^{\downarrow}(\gamma)\ge K(\gamma)\ge 1 \quad пpи всех \quad \gamma\ge1 \end{equation*}
и
$$K^{\downarrow}(\gamma)=K(\gamma)=\gamma \quad пpи \quad \gamma\in [1,2)  ,$$
поскольку в этом случае и в сумме \eqref{N267:f1.1}, и в сумме \eqref{N267:f1.2} будет только одно из $\{\alpha_k\}_{k=1}^{\infty}$ отлично от нуля и равно $\gamma  .$ \par В 2003 году автор доказал, что существует положительная абсолютная постоянная $C$ такая, что
\begin{equation} \label{N267:f1.4} C  (1+\ln \gamma)\le K(\gamma)\le K^{\downarrow}(\gamma)\le \frac1{\pi}  (  \ln \gamma + 2\pi - \ln 2) \quad пpи всех \gamma\ge1 \end{equation}
и
\begin{equation} \label{N267:f1.5} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}  \ln \gamma + O(  \ln \ln(\gamma+2)  ) \quad пpи \gamma\ge1   . \end{equation}
\par Отметим, что в \eqref{N267:f1.4} оценка снизу для величины \eqref{N267:f1.1} вытекает из положительного решения гипотезы Литтлвуда Конягиным С.В. и Мак Геем, Пино и Смитом в 1981 году. \par В 2004 году автор анонсировал оценку
$${K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}  \ln \gamma + O(1) \quad пpи всех \gamma\ge1   ,$$
которая несколько улучшает оценку \eqref{N267:f1.5}. Дальнейшее развитие и некоторое усложнение рассуждений позволило в [2] уточнить последнюю оценку. Оказывается, для величины $\eqref{N267:f1.2}$ справедлива оценка
\begin{equation} \label{N267:f1.6} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}  \ln{\gamma} + \frac{C_0 + \ln{2} + \ln{\pi}}{\pi} + \frac1{{\pi}^2}  \frac{\ln{\gamma}}{{\gamma}} + \frac{O(1)}{\gamma} \quad пpи всех \gamma\ge1   , \end{equation}
где через
\begin{equation*} C_0= \lim_{n\to\infty}  ( \sum_{k=1}^{n}  \frac1{k}- \ln n  ) \end{equation*}
обозначена известная постоянная Эйлеpа. Из приводимого в статье [2] доказательства можно при желании получить в асимптотическом соотношении \eqref{N267:f1.6} конкретную оценку остаточного члена ${O(1)}  .$ Оказывается, верна следующая \vskip 0.1in
\begin{theorem}\label{N267:t1.1} Для величины $\eqref{N267:f1.2}$ справедлива оценка \begin{equation*} {K^{\downarrow}(\gamma)} = \frac1{\pi}  \ln{\gamma} + \frac{C_0 + \ln{2} + \ln{\pi}}{\pi} + \frac1{{\pi}^2}  \frac{\ln{\gamma}}{{\gamma}} + \frac{\alpha({\gamma})}{\gamma} \quad пpи всех \gamma\ge1   , \end{equation*} где \begin{equation*} 0 < \alpha({\gamma}) < C_1 = 4-2  {\pi}^{-1}  ({C_0 + \ln({4  \pi})}) - {\pi}^{-2}  {\ln{2}} = 1{,}95100252…\end{equation*} при всех ${\gamma}\ge 1$ и $C_0$ обозначает постоянную Эйлеpа. \par Более того, $\sup\{ |\alpha({\gamma})| : {\gamma}\ge 1 \} = C_1  ,$
$$\varlimsup_{{\gamma}\to \infty} \alpha({\gamma}) \le {\pi}^{-2}  ( 16 + C_0 + \ln({2  \pi}) ) = 1{,}8658389924…$$
и $\alpha({\gamma}) < 1{,}95$ при всех ${\gamma}\ge 2  .$
\end{theorem}
\vskip 0.1in \par В связи с теоремой \ref{N267:t1.1} особый интерес представляет вопрос о взаимоотношении функций \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} : не известно ни одного значения $\gamma  ,$ при котором функции \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} принимают различные значения. \par Верна следующая теорема. \vskip 0.1in
\begin{theorem}\label{N267:t1.2} При всех ${\gamma}\in [ 1 , 3 )$ справедливо равенство ${K(\gamma)} = {K^{\downarrow}(\gamma)}   .$
\end{theorem}
\par \vskip 0.1in \par В статье [2] найдено точное значение функции \eqref{N267:f1.2} при всех ${\gamma}\in [ 1 , 6 ]  .$ Это может оказаться полезным при попытке найти такое $\gamma  ,$ если, конечно, оно существует, при котором функции \eqref{N267:f1.1} и \eqref{N267:f1.2} принимают различные значения. Если существуют вещественное число $\gamma\ge 3  ,$ натуральное $m\ge 2  ,$ вещественные числа $a_k\ge 1  ,$ $k=1 , …, m  ,$ $\sum_{k=1}^{m}  a_k = \gamma$ и натуральные числа $1\le n_1 < …< n_m  ,$
для которых полином
$$T(x)= K^{\downarrow}(\gamma) + \sum_{k=1}^{m}  a_k  \cos(n_k  {x})$$
положителен во всех точках ${x}\in [ 0 , \pi ]  ,$ то, очевидно, значения $K^{\downarrow}(\gamma)$ и $K(\gamma)$ различны. Поэтому детальное изучение функции \eqref{N267:f1.2} важно и для изучения функции \eqref{N267:f1.1}. \par Далее, для удобства изложения, положим
\begin{equation*} g(\gamma)=\frac{1}{\pi}  \ln{\gamma} + \frac{1}{{\pi}^2}  \frac{\ln{\gamma} }{\gamma} + \frac{C_0+\ln{2}+\ln{\pi}}{\pi} \quad при \quad {\gamma}\ge 1  . \end{equation*}
Тогда по теореме \ref{N267:t1.1}
\begin{equation*} {K^{\downarrow}(\gamma)} > g(\gamma) \quad при всех \quad {\gamma}\ge 1  . \end{equation*}
\par Пусть взяты произвольные натуральное число $m\ge 2  ,$ вещественные числа $a_k\ge 1  ,$ $k=1 , …, m  ,$ и натуральные числа $1\le n_1 < …< n_m  .$ Рассмотрим при $\gamma = \sum_{k=1}^{m} a_k$ полином
\begin{equation}\label{N267:f1.12} T(x)= g(\gamma) + \sum_{k=1}^m  a_k  \cos(n_kx)  . \end{equation}
Если бы нашелся неотрицательный полином такого вида, то величина ${K(\gamma)}$ не превосходила бы ${g(\gamma)}$ и, значит, была бы меньше величины ${K^{\downarrow}(\gamma)}  ,$ т.е. значения ${K(\gamma)}$ и ${K^{\downarrow}(\gamma)}$ не совпадали бы. Однако найти неотрицательный полином вида \eqref{N267:f1.12} не удается. Доказать, что любой полином вида \eqref{N267:f1.12} отрицателен в некоторой точке $x  ,$ своей для каждого полинома, также пока не удается. \par Доказательство теоремы \ref{N267:t1.1} основано на изучении $($см. [3]$)$ экстpемальной задачи о минимуме свободного члена неотрицательного четного тpигонометpического полинома при некоторых условиях на коэффициенты.

Материалы: abstract.pdf (214.2 Kb)

Список литературы
  1. Odlyzko A.M., “Minima of cosine sums and maxima of polynomials on the unit circle”, J. London Math. Soc., 26:3 (1982), 412–420  crossref  mathscinet  zmath
  2. Белов А.С., “Об асимптотическом решении одной экстремальной задачи, связанной с неотрицательными тpигонометpическими полиномами”, Фундаментальная и прикладная математика, 18:5 (2013), 27–67  mathnet
  3. Белов А.С., “Об экстpемальной задаче о минимуме свободного члена неотpицательного тpигонометpического полинома”, Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН, 17:3 (2011), 105–121  mathnet


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017