RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 17:30, Функциональные пространства, г. Москва, МИАН
 


Пространства мультипликаторов для пространств бесселевых потенциалов: эквивалентные нормы и характеризация в шкале пространств $H^s_{p,unif}(\mathbb{R}^n)$

А. А. Беляев

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Материалы:
Adobe PDF 199.7 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:62
Материалы:13

Аннотация: В работе исследуются мультипликаторы из пространства бесселевых потенциалов $H^k_p(\mathbb{R}^n)$ с положительным индексом гладкости в пространство бесселевых потенциалов $H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n)$ с отрицательным индексом гладкости и возможность описания пространств мультипликаторов $M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n))$ в шкале равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов $H^s_{p,unif}(\mathbb{R}^n)$.
Несложно показать, что для произвольных $k, l \geqslant 0$, $p, q > 1$ имеет место непрерывное вложение
$$ M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n)) \subset H^{-l}_{q',unif}(\mathbb{R}^n) \cap H^{-k}_{p',unif}(\mathbb{R}^n). $$

Доказательство же обратного вложения возможно лишь при выполнении дополнительных ограничений на индексы $k, l, p, q$. В случае $p \leqslant q'$ на пространстве мультипликаторов $M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n))$ можно ввести равномерную мультипликаторную норму, эквивалентную стандартной норме этого пространства. В этом случае, опираясь на методы, развитые в работах [1] и [2], автором в статье [3] получен критерий вложения пространств $H^{\gamma}_{r,unif}(\mathbb{R}^n)$ в пространство $M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n))$ в терминах выполнения функциональных мультипликативных оценок.
С помощью этого подхода автором получено описание пространства мультипликаторов в следующем важном частном случае.
Теорема. Пусть $p,q > 1$, $p \leqslant q'$ и $k > \frac n {\max(p,q)}.$ Тогда
$$ M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-k}_{q'}(\mathbb{R}^n)) = H^{-k}_{\max(p',q'),unif}(\mathbb{R}^n), $$
причем соответствующие нормы эквивалентны.
Накладываемые в условии этой теоремы ограничения являются естественными. Действительно, в случае $p > q'$ непрерывное вложение
$$ H^{\gamma}_{r,unif}(\mathbb{R}^n) \subset M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n)) $$
не имеет места ни при каких значениях $\gamma \in \mathbb{R}$ $p > 1$. Поэтому задача описания пространства мультипликаторов из $H^k_p(\mathbb{R}^n)$ в $H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n)$ в терминах равномерно локализованных пространств бесселевых потенциалов имеет смысл лишь при $p \leqslant q'$.
При отказе от условия $k > \frac n {\max(p,q)}$ дать полную характеризацию пространства мультипликаторов $M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-l}_{q'}(\mathbb{R}^n))$ в шкале пространств $H^{\gamma}_{r,unif}(\mathbb{R}^n)$ невозможно даже в простейшем случае $k = l$, $p = q = 2$. В этом случае в работе [2] при $k < \frac{n}{2}$ были установлены двусторонние непрерывные вложения
$$ H^{-k}_{\frac{n}{k},unif}(\mathbb{R}^n) \subset M(H^k_2(\mathbb{R}^n) \to H^{-k}_2(\mathbb{R}^n)) \subset H^{-k}_{2,unif}(\mathbb{R}^n). $$

В докладе будут рассмотрены обобщения этого результата для пространства
$$ M(H^k_p(\mathbb{R}^n) \to H^{-k}_{q'}(\mathbb{R}^n)) $$
при $k < \frac{n}{\max(p, q)}$.

Материалы: abstract.pdf (199.7 Kb)

Список литературы
  1. А. А. Шкаликов, Д.-Г. Бак, “Мультипликаторы в дуальных соболевских пространствах и операторы Шрëдингера с потенциалами-распределениями”, Матем. заметки, 71:5 (2002), 643–651  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  2. M. I. Neiman-Zade, A. A. Shkalikov, “Strongly Elliptic Operators With Singular Coefficients”, Russian Journal of Mathematical Physics, 13:1 (2006), 70–78  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
  3. A. A. Belyaev, “Characterization of spaces of multipliers for Bessel potential spaces”, Math. Notes, 96:5 (2014), 634–646  crossref  zmath  isi  scopus


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017