RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
28 мая 2015 г. 14:30, Приближения функций и гармонический анализ. I, г. Москва, МИАН
 


О структуре множества сходимости равномерно ограниченной последовательности полиномов

В. А. Беляев

Калужский филиал Московского государственного технического университета имени Н. Э. Баумана
Материалы:
Adobe PDF 177.0 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:70
Материалы:22

Аннотация: Проблема состоит в следующем: описать структуру множества $ E $, принадлежащего компакту $ K $ комплексной плоскости, для которого существует последовательность полиномов, равномерно ограниченная на $ K $, сходящаяся поточечно на $ E $ и расходящаяся вне $ E $. Компакт $ K $ не разбивает комплексной плоскости в том смысле, что $ \mathbb{C}\setminus K $ состоит из одной области, содержащей бесконечно удаленную точку.
Рассматриваемая проблема примыкает к проблеме П. М. Монтеля о харрактеристике иррегулярных точек и описания функций, представимых сходящейся последовательностью полиномов. Некоторые результаты в этом направлении получены М. А. Лаврентьевым, М. В. Келдышем, С. Н. Мергеляном, С. В. Колесниковым, В. А. Беляевым (см., например, [1]–[6]).
Введем некоторые обозначения: $ \partial K $ – граница $ K $, $ O( \partial K ) $ – совокупность ограниченных, связных составляющих $ \mathbb{C}\setminus \partial K $. Через $ \{ B \} $ обозначим совокупность всех тех областей из $ O( \partial K ) $, каждая из которых полностью принадлежит $E$, а $ \{ G \}=O( \partial K )\setminus \{ B \} $.
Теорема. Для того, чтобы существовала последовательность полиномов равномерно ограниченная на $ K $, которая поточечно сходится на $ E $, $ E\subset K $, и расходится в каждой точке $ \mathbb{C}\setminus E $ необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
1. $ E $ – типа $ F_{\sigma \delta } $
2. $\omega ( E\cap \partial G_{m},G_{m},z )=0, \forall G_{m}\in \{ G \} $, где $ \omega ( E\cap \partial G_{m},G_{m},z ) $ – гармоническая мера
3. $ \sum ( 1-| \varphi ( z_{n} ) | )< \infty ,\forall G_{m}\in \{ G \} $ где $ w = \varphi_{m}( z ) $ конформное и однолистное отображение области $ G_{m} $ на круг $ | w |< 1 $, а суммирование берется по всем точкам множества $ E\cap G_{m} $.
Следствие. Пусть $ \mathring{K}\subset E\subset K $, где $ \mathring{K} $ – множество внутренних точек $ K $. Для того, чтобы существовала последовательность полиномов, равномерно ограниченная на $ K $, которая поточечно сходится на $ E $ и расходится в каждой точке $ \mathbb{C}\setminus E $, необходимо и достаточно, чтобы $ E $ имело тип $ F_{\sigma \delta } $.

Материалы: abstract.pdf (177.0 Kb)

Список литературы
  1. P. M. Montel, “Lecons sur les series de polinomes d'une variable complexe”, Collect. Borel, 1 (1910), 1–128
  2. M. A. Lavrentieff, “Sur les fonctions d'une variable complexe representatles par des series de polinomes”, Actual. sci. et. industr., 441 (1936), 1–62
  3. Г. М. Голузин, Геометрическая теория функций комплексного переменного, Гостехиздат, Москва, 1952
  4. С. Н. Мергелян, “О некоторых классах множеств и их приложениях”, Некоторые проблемы математики и механики, 1961, 133–172
  5. С. Н. Мергелян, А. А. Даниелян, “О последовательностях полиномов, сходящихся на множествах типа $ F_{\sigma}$”, ДАН Арм ССР, 1988, 54–56  mathscinet
  6. В. А. Беляев, “Описание структуры множества полиномиальной сходимости в комплексной плоскости”, ДАН АНСССР, 1990, 1296–1298  zmath


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017