RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
28 мая 2015 г. 17:05, Дифференциальные уравнения, г. Москва, МИАН
 


О свойствах собственных функций задачи Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом и весом

В. Е. Владыкина

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Материалы:
Adobe PDF 174.0 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:56
Материалы:16

Аннотация: В работе изучается задача Штурма–Лиувилля с сингулярным потенциалом и положительным весом:
\begin{equation} \label{N428:1} -y"(x)+q(x)y(x)=\lambda ^2 \rho (x) y(x), \qquad y(0)=y(1)=0, \end{equation}
где $q \in W_2^{-1}[0;1]$, $\rho \in BV [0;1]$, $m \leq \rho(x) \leq M$ при некоторых положительных $m$ и $M$.
В классическом случае, когда потенциал $q$ суммируемый, а вес $\rho \in C^2[0;1]$, задача хорошо изучена. При $q\in W_2^{-1}[0;1]$, $\rho\equiv 1$ эта задача была корректно поставлена и изучена в работе Савчука и Шкаликова [1].
Для рассматриваемых весов $\rho\in AC [0;1]$ задача (1) не сводится к уже рассмотренным случаям заменой и требует отдельного изучения. В работе получены асимптотические фомулы для фундаментальных решений, собственных функций и собственных значений задачи (1).
Теорема 1. Пусть $\rho \in AC[0;1]$. Тогда в области $\{\mathrm{Re} \lambda >-\lambda_0 \}$ фундаментальные решения задачи (1) имеют вид
$$ y_1= e^{i\lambda h t}(e^{\Phi}+o(1)), \qquad y_2= e^{-i\lambda h t}(e^{\Phi}+o(1)) \quad при\quad | \lambda | \to\infty, $$
где
$$ t=\frac{1}{h}\int_0^x \sqrt{\rho (\xi)} d\xi ,\quad h=\int_0^1 \sqrt{\rho (\xi)} d\xi, \quad \Phi=\frac{1}{2}\int_0^t \phi (\xi) d \xi, \quad \phi = -\frac{\rho '(t)}{2\rho(t)}. $$

Также верна
Теорема 2. Собственные функции задачи (1) при $\rho\in AC [0;1]$ в области $\{\mathrm{Re} \lambda >-\lambda_0\}$ имеют вид
$$ y_k=e^{\Phi (t)}\sin {\pi k t}+o(1) \quad при k \to\infty. $$
Если же $\rho$ — функция ограниченной вариации, то для собственных функций задачи (1) верны оценки
$$ \|y_n\|_{C[0;1]}\leq C(\rho) \|y_n\|_{L_p[0;1]}, \quad \forall p\geq 1. $$

Работа выполнена при поддержке РНФ, грант № 14-11-00754.

Материалы: abstract.pdf (174.0 Kb)

Список литературы
  1. А. М. Савчук, А. А. Шкаликов, “Операторы Штурма–Лиувилля с сингулярными потенциалами”, Матем. заметки, 66:6 (1999), 897–912  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; Math. Notes, 66:6 (1999), 741–753  crossref  isi


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017