RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
25 мая 2015 г. 12:50, Пленарные доклады, г. Москва, МИАН
 


Пространства Соболева, геометрическая теория функций и их применения

С. К. Водопьянов

Институт математики имени С. Л. Соболева СО РАН
Видеозаписи:
MP4 1,311.6 Mb
MP4 332.9 Mb
Материалы:
Adobe PDF 492.1 Kb
Adobe PDF 230.4 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:429
Видеофайлы:176
Материалы:74

С. К. Водопьянов
Фотогалерея


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: В докладе будут показаны результаты и идеи, полученные в ряде недавних работ, в основании которых лежит описание соболевских гомеоморфизмов $\varphi\colon \Omega\to\Omega'$ открытых областей евклидова пространства $\mathbb R^n$, $n\geq2$, обратный к которым также принадлежит классу Соболева [1]. Этот результат описывает двухиндексную шкалу гомеоморфизмов, зависящих от вещественных параметров $n-1<q \leq p<\infty $.
Такие гомеоморфизмы при некоторых условиях на функцию искажения и только такие индуцируют ограниченный оператор $\varphi^*\colon L_p^1(\Omega')\to L_q^1(\Omega)$ пространств Соболева (включая весовые) по правилу композиции: $\varphi^*(f)=f\circ \varphi$ [2].
Результаты работ [1,2,3] мотивируют следующее
Определение. Пусть $\theta\colon \mathbb R^n\to[0,\infty]$ — измеримая функция: $0<\theta<\infty$ п. вс. Отображение $\varphi\colon \Omega\to \mathbb R^n$, $\Omega\subset\mathbb R^n$, $n\geq2$, называется отображение с ограниченным $\theta$-весовым $(p,q)$-искажением, $n-1< q\leq p<\infty$, если:
  • 1) $\varphi\in W^1_{q,loc}(\Omega)$;
  • 2) $\varphi$ имеет конечное искажение: $D\varphi(x)=0$ п. вс. на множестве нулей якобиана $J(x,\varphi)=\det D\varphi(x)$;
  • 3) $\varphi$ непрерывно открыто и дискретно, и $J(x,\varphi)\geq0$;
  • 4) $\theta$-весовая функция $(q,p)$-искажения
    \begin{equation*} \Omega \ni x\mapsto K_q^{\theta}(x,\varphi)=\begin{cases} \dfrac{\theta^{\frac{1}{q}}(x)|D \varphi(x)|}{J(x,\varphi)^\frac1p},\quad &если J(x,\varphi)>0,
    [4mm] 0&иначе \end{cases} \end{equation*}
    принадлежит $L_{\kappa}(\Omega)$, где $\frac1{\kappa}=\frac1q-\frac1p$ ($\kappa=\infty$ при $p=q$).

Очевидно, что в случае $\theta\equiv1$, $q=p=n$ мы получаем отображение с ограниченным искажением, начала теории которых были заложены Ю. Г. Решетняком в 1960-ые годы прошлого века [3]. Если дополнительно $\varphi$ — гомеоморфизм, то $\varphi$ — квазиконформное отображение.
Метод работы [1] позволяет исследовать свойства отображений с ограниченным $\theta$-весовым $(p,q)$-искажением без обременительных аналитических предположений (в ряде работ предполагалось дополнительно выполнение $\mathcal N$-свойства Лузина). Показано, что новый класс отображений наследует многие свойства отображений с ограниченным искажением:
  • 1) обобщенную лемму Полецкого [4];
  • 2) оценки для емкости образа кольцевой области [5], доказательство которых основывается на работах [1,4];
  • 3) теорему Лиувилля [5];
  • 4) устранимость множеств [5]
и др. результаты.
Упомянутые выше результаты применяются для исследовании задача минимизации функционала $I(\varphi)=\int_{\Omega}W(x,D\varphi) dx$ на новом классе отображений сравнительно с классами, исследуемыми ранее Дж. Боллом [6]. Ослаблены условия суммируемости допустимых деформаций до $\varphi\in W^1_n(\Omega)$ и условия роста подынтегральной функции $W(x,F)$. Компенсацией за ослабление вышеперечисленных условий является требование на характеристику искажения $\frac{|D\varphi(x)|}{J(x,\varphi)^{\frac{1}{n}}} \leq M(x) \in L_{ns}(\Omega)$. В условиях поливыпуклости и коэрцитивности подынтегральной функции $W(x,F)$ получена теорема существования задачи минимизации функционала $I(\varphi)$ на новом семействе допустимых деформаций $\mathcal{A}$ [7]. Приводится пример поливыпуклой функции $W(x,F)$, не удовлетворяющей условиям работы [6], для которой, тем не менее, можно решить задачу минимизации для функционала $I(\varphi)$.
Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ (код проекта № 14-01-00552).

Материалы: Презентация_доклада.pdf (492.1 Kb), abstract.pdf (230.4 Kb)

Список литературы
  1. С. К. Водопьянов, “О регулярности отображений, обратных к соболевским”, Матем. сб., 203:10 (2012), 3–32  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  2. С. К. Водопьянов, А. Д. Ухлов, “Операторы суперпозиции в пространствах Соболева”, Известия ВУЗов. Математика, 486:10 (2002), 11–33  mathnet  mathscinet
  3. Ю. Г. Решетняк, Пространственные отображения с ограниченным искажением, Наука, Новосибирск, 1982
  4. С. К. Водопьянов, “О регулярности функции Полецкого при слабых аналитических предположениях исходного отображения”, Докл. РАН, 455:2 (2014), 130–134  crossref  mathscinet  zmath
  5. А. Н. Байкин, С. К. Водопьянов, “Емкостные оценки, теоремы типа Лиувилля и об устранении особенностей для отображений с ограниченным $(p,q)$-искажением”, Сиб. мат. журн., 56:2 (2015), 290–321  mathnet
  6. J. M. Ball, “Convexity conditions and existence theorems in nonlinear elasticity”, Arch. Ration. Mech. and Analys, 63 (1977), 337–403  crossref  mathscinet  zmath  scopus
  7. С. К. Водопьянов, А. О. Молчанова, “Вариационные задачи нелинейной теории упругости в некоторых классах отображений с конечным искажением”, Докл. РАН, 2015 (в печати)


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017