RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 15:45, Дифференциальные уравнения II, г. Москва, МИАН
 


О регуляризации решения задачи Коши для уравнения Гельмгольца

Х. Ш. Джураев

Таджикский национальный университет
Материалы:
Adobe PDF 199.9 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:48
Материалы:22

Аннотация: Пусть $R=(-\infty,\infty)$ – действительная ось, $D=\{-\infty<x<\infty, 0\leq y \leq y_0  (y \geq 0)\}$ – полоса или полуплоскость. $C(D)$ – пространство непрерывных функций $u(x,y)$: $(x,y)\in D$ с нормой
$$ \|{u(x,y)}\|= \sup_{D}|u(x,y)|. $$
Требуется найти функцию $u(x,y)$, непрерывную при $x{\in}R$ и $y>0$ из класса $C^2(D)$, удовлетворяющую уравнению
$$ \Delta{u}+\lambda^2u=0,\qquad \lambda=const \tag{1} $$
и начальному условию
$$ u(x,0)=\varphi(x),\qquad \frac{\partial{u}}{\partial{y}}|_{y=0}=\psi(x), \tag{2} $$
где $\Delta$ – оператор Лапласа, а $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ – заданные функции.
Известно, что при произвольных $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ задача (1)–(2) неразрешима. Если $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ – аналитические функции и аналитически продолжимы, то, согласно фундаментальной теореме теории уравнений в частных производных, продолжение осуществимо и единственно. Одноко можно построить пример, подобный примеру Адамара для уравнения Лапласа (см. [1]), который показывает, что полученное продолжение будет неустойчивым к малым изменениям исходных данных. Поэтому задача (1)–(2) относится к числу некорректно поставленных задач.
Пусть в (2) $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям:
1) $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ - бесконечно дифференцируемые функции;
2) производные $\varphi^{(k)}(x)$ и $\psi^{(k)}(x)$$(k=1,2,\cdots)$ стремятся к нулю при $|x|\to\infty$ быстрее любой отрицательной степени $|x|$.
Решение $u(x,y)$ будем искать в классе функций, для которых:
а) функции $u(x,y)$, $\frac{\partial{u}}{\partial{x}}$, $\frac{\partial^2u}{\partial{x^2}}$ абсолютно интегрируемы на всей оси $x$ при любом фиксированном $y\geq{0}$;
б) функции $\frac{\partial{u}}{\partial{y}}$, $\frac{\partial^2u}{\partial{y^2}}$ имеют в каждом конечном интервале $0\leq{y}\leq{y_0}$ интегрируемую мажоранту $n(x)$.
Выполним в задаче (1)–(2) преобразование Фурье по $x$. В силу условий а)–б) и свойств преобразования Фурье в $S(R)$ – пространстве Шварца, получаем:
$$ \frac{d^2v(s,y)}{d{y^2}}-(s^2-\lambda^2)v(s,y)=0. \tag{3} $$
По предположению, $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям 1)–2). Учитывая свойства преобразования Фурье в $S(R)$, из (2) имеем:
$$ v(s,0)=\Phi(s),\qquad \frac{dv(s,y)}{dy}|_{y=0}=\Psi(s), \tag{4} $$
где $\Phi(s)$ и $\Psi(s)$ – преобразования Фурье функций $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ соответственно. Согласно известной теореме (см. с. 153 в [1]), функции $\Phi(s)$ и $\Psi(s)$ также являются бесконечно дифференцируемыми и каждая из их производных стремится к нулю при $|s|\rightarrow\infty$ быстрее любой отрицательной степени $|s|$.
Таким образом, преобразование Фурье задачи (1)–(2) приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению (3) с условиями (4). Решение задачи (3)–(4) имеет вид
$$ v(s,y)=\Phi(s)cosh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})+\Psi(s)\frac{sinh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})}{\sqrt{s^2-\lambda^2}}. $$
При каждом фиксированном $y$ это есть функция из пространства $S(R)$ (см. гл. IV в [1], с. 29 в [2]), следовательно, принадлежит классам $L_1(R)$ и $L_2(R)$. Действительно, так как, по предположению, $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям 1)–2), то они принадлежат пространству $S(R)$ (функций от $x$). Известно также (см. с. 4 в [3]), что всякая функция $m(x)$ ($x{\in}R$) из $S(R)$ принадлежит классам $L_1(R)$ и $L_2(R)$. Тогда на основе свойств преобразования Фурье (см. с. 153–156 в [1]) функции $\Phi(s)$ и $\Psi(s)$ принадлежат пространству $S(R)$ (функций от $s$), то есть классам $L_1(R)$ и $L_2(R)$. Следовательно, $v(s,y)$ принадлежит пространству $S(R)$ (функций от $s$), и значит, классам $L_1(R)$ и $L_2(R)$ для любого фиксированного $y>0$. Обратное преобразование Фурье от $v(s,y)$ есть обычная функция, выражаемая в виде
$$ u(x,y)=\int_{-\infty}^{\infty}(\Phi(s)\cosh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})+\Psi(s)\frac{\sinh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})}{\sqrt{s^2-\lambda^2}})\exp(ixs)dx. \tag{5} $$
Следовательно, функция $u(x,y)$ вида (5) при всяком фиксированном $y>0$ есть функция класса $S(R)$ и является решением задачи (1)–(2), поскольку (см. с. 153–156 в [1]) операторы Фурье $F$ и $F^{-1}$ взаимооднозначно отображают пространство $S(R)$ на себя. Таким образом, мы получили, что если в (2) $\varphi(x)$ и $\psi(x)$ удовлетворяют условиям 1)–2), то решение задачи (1)–(2) существует и выражается в виде (5). Пусть, далее, вместо $\varphi(x )$ и $\psi(x)$ заданы их приближенния $\tilde{\varphi}(x)$ и $\tilde{\psi}(x)$ из $L_2(R)$ такие, что
$$ \|\tilde{\varphi}(x)-\varphi(x)\|_{L_2(R)}{\leq}\delta,\qquad \|\tilde{\psi}(x)-\psi(x)\|_{L_2(R)}{\leq}\delta. \tag{6} $$
Тогда вместо нахождения $u(x,y)$ можно ставить лишь задачу о нахождении приближенного решения, то есть приближения к $u(x,y)$ с точными исходными данными $\varphi(x)$ и $\psi(x)$. Следуя [5], покажем, что в качестве искомых приближений в этих случаях можно брать значения однопараметрического семейства операторов
$$ R_r(\tilde{\varphi},\tilde{\psi},x,y,\alpha)=\int_{-\infty}^{\infty}r(s,\alpha)(\Phi(s)\cosh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})+\Psi(s)\frac{\sinh(y\sqrt{s^2-\lambda^2})}{\sqrt{s^2-\lambda^2}})\exp(ixs) dx. \tag{7} $$
с стабилизирующими множительями $r(s,\alpha)$, удовлетворяющими следующим условиям:
1) $r(s,\alpha)$ определена в области $\{\alpha\geq{0}, -\infty<s<\infty\}$;
2) $0\leq{r(s,\alpha)}\leq{1}$ для всех значений $\alpha\geq{0}$ и $s\in{R}$;
3) $r(s,0)=1$;
4) $\forall\alpha>0$, $r(s,\alpha)$ четная по $s$ и $r(s,\alpha){\in}L_2(R)$;
5) $\forall\alpha>0$, $r(s,\alpha)\rightarrow{0}$ при $|s|\rightarrow{\infty}$;
6) при $\alpha\rightarrow{0}$  $r(s,\alpha)\rightarrow{0}$, не убывая, причем на всяком отрезке $|s|{\leq}s_1$, эта сходимость равномерная;
7) $\forall{s\neq}0$  $r(s,\alpha)\rightarrow{0}$ при $\alpha\rightarrow{\infty}$, и эта сходимость равномерная на каждом отрезке $[s_1,s_2]$.
Этим условиям отвечает, например, стабилизирующий множитель вида
$$ r(s,\alpha)=exp(-\alpha|s|);   r(s,\alpha)=exp(-\alpha{s^{2n}});   r(s,\alpha)=\frac{1}{1+\alpha{s^{2n}}} $$
для каждого $n\geq 1$.
Теорема. Пусть функция $u(x,y)$ вида (5) есть точное решение уравнения (1) с точными условиями (2),в а $\tilde{\varphi}(x)$ и $\tilde{\psi}(x)$ – известные приближения из $L_2(R)$, удовлетворяющие при данном $\delta>0$ неравенствам (6), и $y>0$ – заданное число. Тогда для каждой функции $r(s,\alpha)$, удовлетворяющей условиям 1)–7), оператор $R_r$ вида (7) является регуляризирующим для задачи (1)–(2), и если параметр $\alpha=\alpha(\delta)$ есть корень уравнения
$$ \sqrt{\omega(y,\alpha)}+\sqrt{\nu(y,\alpha)}=\frac{\varepsilon}{2\delta}, $$
причем $\lim_{\delta\to 0}\alpha(\delta)=0$, то при $\delta\to 0$ $R_r(\tilde{\varphi},\tilde{\psi},x,y,\alpha)$ сходится к функции $u(x,y)$.

Материалы: abstract.pdf (199.9 Kb)

Список литературы
  1. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, 3-е изд., Наука, М., 1986, 288 с.
  2. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Обобщенные функции и действия над ними, Вып. 1, Физматгиз, М., 1958, 440 с.
  3. И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов, Пространства основных и обобщонных функций, Вып. 2, Физматгиз, М., 1958, 308 с.
  4. Г. Е. Шилов, Некоторые вопросы теории преобразования Фурье, Изд. МГУ, М., 1968, 10 с.
  5. Х. Ш. Джураев, “Регуляризация граничных задач для гиперболического уравнения”, Матем. заметки, 93:2 (2013), 202–208  mathnet  crossref  zmath  isi


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017