RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 16:40, Функциональные пространства, г. Москва, МИАН
 


Критерии вложения анизотропных классов Соболева–Морри

М. А. Жайнибекова, Г. Т. Джумакаева

Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета им. Л. Н. Гумилёва
Материалы:
Adobe PDF 200.1 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:34
Материалы:18

Аннотация: Классическая теорема С.Л. Соболева [1] утверждает, что при ${rp\neq s}$ для вложения класса Соболева $W_{p}^{r} (0,1)^{s}$в пространство равномерно непрерывных на $(0,1)^{s}$ функций $C(0,1)^{s}$ необходимо и достаточно выполнение неравенства $rp>s$.
С позиций теории вложений функциональных пространств и их приложений интересен вопрос о переходе к более узким классам $r$ раз дифференцируемых функций с производными из лебегова пространства $L^{p} (0,1)^{s} $, для которых выполнено вложение в $C(0,1)^{s} $ при $rp<s$.
В определениях и обозначениях из [1]–[2] справедлива
Теорема. Пусть даны целые положительные числа $s$, $r_{1},…, r_{s}$, положительные числа $\aleph_j$ $(j=1,…,s)$, действительное число $1\le p<\infty$ и неубывающая на $(0,1]$ положительная функция $\Phi (\delta)$, удовлетворяющая условию $\Phi(2\delta )\ll\Phi(\delta)$. Тогда для того чтобы имело место вложение
$$ W_{p;\Phi;\aleph _{1},\ldots,\aleph _{s} }^{r_{1} ,…,r_{s} } (0,1)^{s} \subset C(0,1)^{s}$$
достаточно, а в случае выполнения условий ${\frac{1}{p} \sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} } \ne 1,}$ ${r_{\tau } \aleph _{\tau } =1}\; (\tau =1,…,s)$ и $\eta \omega (\delta )\le C\delta \omega (\eta )  (0<\eta <\delta <1)$ необходимо, чтобы
$$ \int _{0}^{1} \delta^{(1-\frac{1}{p}\sum_{j=1}^{s} \frac{1}{r_{j} })\frac{\max_{\tau =1,…,s}r_{\tau}\aleph _{\tau}}{\aleph_{1} +\ldots+\aleph_{s}}} \Phi(\delta)\frac{d\delta }{\delta}<+\infty. $$

При $r_{1} =…=r_{s} =r$, $\aleph _{1} =…=\aleph _{s} $ эта теорема сводится к теореме из [2]:
$$ W_{p;\Phi ;1,\ldots,1}^{r} (0,1)^{s} \subset C(0,1)^{s}   \Leftrightarrow   \int _{0}^{1}\delta ^{\frac{r}{s} -\frac{1}{p} } \cdot \Phi (\delta ) \frac{d\delta }{\delta } <+\infty. $$

Достаточное условие для вложения
\begin{equation} W_{p; \Phi; \aleph _{1}\ldots\aleph _{s} }^{r_{1},\ldots, r_{s} } (0,1)^{s} \subset D^{(\alpha _{1},\ldots,\alpha _{s} )} L^{q} (0,1)^{s} \end{equation}
при $1\le p<q<\infty $ состоит в сходимости интеграла
\begin{equation} \int _{0}^{1}\vartheta ^{-\sum _{j=1}^{s}\frac{\alpha _{j} }{r_{j}} -(\frac{1}{p} -\frac{1}{q} )\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} }} \Phi ^{1-\frac{p}{q} } (\vartheta^{^{\frac{\aleph _{1} +\ldots+\aleph _{s} }{\mathop{\max }\limits_{\tau =1,\ldots,s} r_{\tau } \aleph _{\tau}}}} )d\vartheta <+\infty. \end{equation}

Не исключено, что условие (2) и необходимо для вложения (1), во всяком случае в ряде случаев это действительно так.
Теперь обратимся к случаю $rp=s$, впервые изученному в [3], краткий обзор последующих результатов дан в [1, с. 133–134].
Теорема. Пусть $\frac{1}{p} \sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_j} =1$. В случае $\Phi (\delta )=\log^{-\beta } \frac{1}{\delta}$$(0<\delta <1;  \beta >0)$ вложение
\begin{equation*} \label{N291:EQ3} W_{p=\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_j},\Phi,\aleph _{1},\ldots,\aleph_{s} }^{r_{1},…,r_{s} } (0,1)^{s} \subset (0,1)^{s}, \end{equation*}
имеет место при $\beta >1$ и при всех $\aleph _{j} >0  (j=1,\ldots,s)$ и не имеет места при $\beta \le 1-\frac{1}{p}   (p>1), \aleph _{j} =\frac{1}{r_j} (j=1,…,s)$.
Замечание. Теорему 2 можно рассматривать как распространение теоремы 10.4 из [1, с. 129–130] на случай $\sum _{j=1}^{s}\frac{1}{r_{j} } =p,  1\le p\le +\infty$. Здесь случай $1-\frac{1}{p} <\beta \le 1$ остается открытым. Не исключено, что вложение (3) имеет место во всех этих случаях.
В заключение отметим, что полученные здесь результаты частично анонсированы в [4].

Материалы: abstract.pdf (200.1 Kb)

Список литературы
  1. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, Наука, М., 1996  mathscinet
  2. Г. Т. Джумакаева, “Интегральные представления функций и теоремы вложения”, Матем. заметки, 37:3 (1985), 399–406  mathnet  mathscinet  zmath
  3. С. Л. Соболев, “Об одной теореме функционального анализа”, Матем. сб., 4:3 (1938), 471–497  mathnet
  4. Н. Темиргалиев, М. А. Жайнибекова, Г. Т. Джумакаева, “Критерии вложения классов типа Морри”, Изв. вузов. Матем., 2015, № 5, 80–85  mathnet


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017