RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 17:30, Приближения функций и гармонический анализ, г. Москва, МИАН
 


О нормах производных функций с нулевыми значениями заданного набора линейных функционалов и их применения к поперечниковым задачам

А. Ж. Жубанышева, Ш. К. Абикенова

Евразийский национальный университет им. Л. Н. Гумилёва
Материалы:
Adobe PDF 272.5 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:38
Материалы:16

Аннотация: В ряде вопросов теории приближений полезной оказывается следующая (случай $p=2$ см. в [1])
Лемма. Пусть даны целые положительные числа $s$ и $N=n^s$ $(n=5,6,…)$, функция $\omega (t)$ из $C^{\infty}$ $(-\infty ,+\infty)$ такая, что supp$\omega =[0,1]$, $0\le\omega(t)\le 1=\max_{0\le t\le 1} \omega(t)$. Определим на $[0,1]^{s}$ ортогональную систему (с $1$-периодическим продолжением по каждой переменной)
$$ \psi_k(x)=\prod_{j=1}^{s}\omega (4n(x_j-\frac{k_j}{4n})), (k\in A_N\equiv \{k=(k_1,…,k_s)\in Z^s,0\le k_j\le 4n-1\; (j=1,…,s)\}). $$
Тогда для всякого набора линейных функционалов $l_1,…,l_N$, определенных, по крайней мере, на множестве всех многочленов по системе $\psi_k$, существует конечная последовательность $\{b_k:  k\in A_N\}$ такая, что для функции $B_N(x)\equiv B_N(x;l_1,…,l_N)=\sum_{k\in A_N} b_k\psi_k(x)$ выполнены равенства $l_1(B_N)=…=l_N(B_N)=0$ и для всякого набора целых неотрицательных чисел $\lambda_1,…,\lambda_s$ и всякого $1\le p\le \infty $ имеют место соотношения
\begin{gather*} \|B_N^{(\lambda_1,…,\lambda_s)}\| _{L^p(0,1)^s}\succ\prec N^{\frac{\lambda_1+…+\lambda_s}{s}-\frac{1}{p}} (\sum_{k\in A_N}|b_k|^p)^{\frac{1}{p}} при 1\leq p<\infty,
\|B_N^{(\lambda_1,…,\lambda_s)}\|_{L^p(0,1)^s}\succ\prec N^{\frac{\lambda_1+…+\lambda_s}{s}+1}, \quad p=\infty. \end{gather*}

В качестве следствия при $1\le p\le q\le\infty$ и $s=1,2,…$ получаем известные оценки снизу для поперечников «кодирования» функций из соболевских классов $W_p^r(0,1)^s$ (условия на задействованные параметры считаются такими, что все показатели при $N$ отрицательны):
\begin{gather*} \lambda^N(W_p^r(0,1)^s)_{L^q(0,1)^s}\equiv \inf_{\substack{l_1, …, l_N - всевозможные
линейные функционалы}} \sup_{\substack{f\in W_p^r(0,1)^s l_{\tau}(f)=0, (\tau =1,…,N) }}\|f\|_{L^q(0,1)^s}
\ll\begin{cases} N^{-\frac{r}{s} +(\frac{1}{p} -\frac{1}{q})},&если 2\le p\le q\le \infty, N^{-\frac{r}{s} +\frac{1}{2} -\frac{1}{q}},&если 1\le p<2\le q\le +\infty, N^{-\frac{r}{s}},&если 1\le p\le q< 2. \end{cases} \end{gather*}

Еще одним следствием является другое доказательство порядковых соотношений для поперечников по Колмогорову функциональных классов, в которых основной метод решения заключается в редуцировании к конечномерным задачам о поперечниках обобщенных конечномерных октаэдров (порядковые соотношения для поперечников по Колмогорову при различных соотношениях параметров получены в работах В. М. Тихомирова, Р. С. Исмагилова, Б. С. Кашина, Ю. И. Маковоза, М. Ш. Бирмана, М. З. Соломяка, В. Н. Темлякова, Э. М. Галеева, Е. Д. Куланина и др.). Здесь же, применением принципа двойственности для поперечников по Колмогорову $d_N(\tilde{W}_p^r(0,1)^s)_{L^q(0,1)^s}$ и «кодирования» функций $\lambda^N(\tilde{W}_{q'}^r(0,1)^s)_{L^{p'} (0,1)^s}$ (благодарим Э. М. Галеева за указание на нее для периодических классов Соболева $\tilde{W}_p^r(0,1)^s$ функций с нулевым средним) и из теоремы 1 в [1] в случае $1< p\leq q\leq 2$ приходим к соотношениям (см. также [2]–[3])
$$ 2\lambda^N(\tilde{W}_{q'}^r(0,1)^s)_{L^{p'}(0,1)^s}=d_N(\tilde{W}_p^r(0,1)^s)_{L^q(0,1)^s} \succ \prec N^{-\frac{r}{s} +(\frac{1}{p} -\frac{1}{q})}   (\frac{1}{\theta} +\frac{1}{\theta '} =1). $$


Материалы: abstract.pdf (272.5 Kb)

Список литературы
  1. Ш. У. Ажгалиев, Н. Темиргалиев, Матем. заметки, 3:6 (2003), 803–812  mathnet  crossref  mathscinet
  2. А. Д. Иоффе, В. М. Тихомиров, “Двойственность выпуклых функций и экстремальные задачи”, УМН, 23:6 (144) (1968), 51–116  mathnet  mathscinet  zmath
  3. http://galeevem.math.msu.su/get_file-uuid=5abf5305-5cf3-4868-8b18-25b0b8205f50&groupId=3557763.pdf


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017