RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 17:30, Дифференциальные уравнения II, г. Москва, МИАН
 


Внешняя вариационная задача Дирихле для вырождающегося эллиптического оператора с суммируемыми коэффициентами

С. А. Исхоков

Институт математики Академии наук Республики Таджикистан
Материалы:
Adobe PDF 171.6 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:49
Материалы:24

Аннотация: Пусть $\Omega$ – ограниченная область в $n$-мерном евклидовом пространстве $R^n$ с $(n-1)$-мерной гладкой границей $\partial\Omega$ и пусть $\Omega^*=R^n\setminus\overline{\Omega}$. Символом $K_R$ обозначим открытый шар достаточно большого радиуса $R$ с центром в начале координат такой, что $ \overline{\Omega}\subset K_R$. Пусть $\rho(x)$ – регуляризованное расстояние от $x\in\Omega^*$ до $\partial\Omega$ и $\alpha$, $\beta$ – вещественные числа. Символом $\sigma(x)$ обозначим бесконечно дифференцируемую положительную в $\Omega^*$ функцию, которая ведет себя как $\rho^{\alpha}(x)$ вблизи $\partial\Omega$ и как $\rho^{\beta}(x)$ в $R^n\setminus K_R$. Пусть $r$ – натуральное число, $1\leq p<+\infty$ и $ \varphi$ – непрерывная в $\Omega^*$ положительная функция. Введем весовое пространство $W_{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)$ всех измеримых в $\Omega^*$ комплекснозначных функций $u(x)$ с конечной нормой
$$ \|u;W_{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)\|= \{\sum_{|k| =r}\int_{\Omega^*}\sigma^p(x)|u^{(k)}(x)|^pdx+ \int_{\Omega^*}\varphi^p(x)|u(x)|^pdx\}^{1/p}, $$
где $u^{(k)}(x)$ – обобщенная по С.Л.Соболеву производная функции $u(x)$ мультииндекса $k$. Обозначим через $\stackrel{\circ}{W} _{p;\alpha,\beta; \varphi}^r(\Omega^*)$ пополнение класса $C_0^{\infty}(\Omega^*)$ в норме пространства $W_{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)$, а через $(\stackrel{\circ}{W} _{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*))'$ – пространство антилинейных непрерывных функционалов, определенных на $\stackrel{\circ}{W} _{p;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*)$, наделенное нормой сопряженного пространства.
Рассмотрим полуторалинейную форму
$$ B[u,v]=\sum_{|k|, |l|\leq r}\int_{\Omega^*}a_{kl}(x)u^{(k)}(x)\overline{v^{(l)}(x)} dx $$
с комплекснозначными коэффициентами $a_{kl}(x)$.
В докладе обсуждается вопрос о разрешимости следующей задачи Дирихле:
Задача $D_\lambda$. Для заданного функционала $F\in (\stackrel{\circ}{W} _{2;\alpha,\beta;\varphi}^r(\Omega^*))'$ требуется найти решение $U(x)$ уравнения
$$ B[U,v] + \lambda \int_{\Omega^*} \varphi^2(x)U(x)\overline{v(x)} dx=\langle F, v\rangle\qquad (\forall v\in C_0^{\infty} (\Omega^*)), $$
принадлежащее пространству $\stackrel{\circ}{W} _{2;\alpha,\beta;\varphi} ^r(\Omega^*)$.
Доказана однозначная разрешимость задачи $D_{\lambda}$ для некоторых значений параметра $\lambda$, когда старшие коэффициенты $a_{kl}$, $|k| =|l|=r,$ удовлетворяют условию эллиптичности
$$ \mathrm{Re}\sum_{|k|=|l|=r}a_{kl}(x)\xi^k\xi^l\geq c_0\sigma(x)\xi^{2r}\quad (x\in\Omega^*, \xi\in R^n )\tag{1} $$
и младшие коэффициенты $a_{kl}$, $|k|+|l|\leq 2r-1,$ принадлежат некоторым весовым $L_{p_{kl}}$-пространствам.
Разрешимость задачи $D_{\lambda}$ ранее исследовалась в работах [1], [2] в предположении, что коэффициенты $a_{kl}$, $|k|, |l|\leq r$, имеют форму произведения ограниченной функции и некоторой степени функции $\rho(x)$ и такие, что
$$ \mathrm{Re}\sum_{|k|,|l|\leq r} a_{kl}(x)\zeta_k\overline{\zeta_l}\geq c_0\sigma(x)\sum_{|k|=r}|\zeta_k|^{2}\tag{2} $$
для всех $x\in \Omega$ и любого набора комплексных чисел $\zeta =\{\zeta_k\}_{|k|\leq r}$. Условие (1) слабее условии (2).

Материалы: abstract.pdf (171.6 Kb)

Список литературы
  1. Мирошин Н.В., “Спектральные внешние задачи для вырождающегося эллиптического оператора”, Известия вузов. Математика, 1988, № 8, 47–55  mathnet  mathscinet  zmath
  2. Мирошин Н.В., “Внешняя вариационная задача Дирихле для эллиптического оператора с вырождением”, Тр. МИАН, 194, 1992, 179–195  mathnet  zmath
  3. Исхоков С.А., “Неравенство Гординга для эллиптических операторов с вырождением”, Матем. заметки, 87:2 (2010), 201- 216  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  4. Никольский С.М., Лизоркин П.И., Мирошин Н.И., “Весовые функциональные пространства и их приложения к исследованию краевых задач для вырождающихся эллиптических уравнений”, Известия Вузов. Математика, 1988, № 8, 4–30  mathnet


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017