RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 17:55, Дифференциальные уравнения II, г. Москва, МИАН
 


Критерий безмонодромности для оператора Штурма–Лиувилля

Х. К. Ишкин

Башкирский государственный университет
Материалы:
Adobe PDF 175.5 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:34
Материалы:19

Аннотация: Если функция $q$ мероморфна в области $\Omega\subset\mathbb{C}$, то говорят, что оператор $L=-\partial^2+q (\partial= d/{dz})$ имеет тривиальную монодромию или безмонодромен в области $\Omega$, если любое решение $y(z,\lambda)$ уравнения $-y"+qy=\lambda y$ при любом значении параметра $\lambda$ является однозначной функцией $z\in\Omega$. При этом сам потенциал $q$ также называют безмонодромным.
Рассмотрим оператор $L_0=-\partial^2+q_0,$ с потенциалом $q_0(z)$, аналитичным в односвязной области $\Omega$. Если $f$ — некоторое решение уравнения Риккати $f'+f^2=q_0-\lambda_0$, то выражение $L_0$ допускает факторизацию: $L_0=Q^*Q+\lambda_0,$ где $Q=-\partial+f, Q^*=\partial+f.$ Пусть $L_1:=QQ^*=-\partial^2+q_1,$ где $q_1=q_0-2f'-\lambda_0$. Если $f=\varphi_0'/\varphi_0,$ то $Q\varphi_0=0,$ следовательно, $L_0\varphi=\lambda_0\varphi$. При этом оператор $L_1$ и соответствующий потенциал $q_1=q_0-2(\ln\varphi)"-\lambda_0$ называют преобразованием Дарбу оператора $L_0$ (или потенциала $q_0$) на уровне $\varphi_0$. Поскольку для любого (аналитичного в $\Omega$) решения $\psi$ уравнения $L_0\psi=\mu\psi$ функция $\chi=Q\psi$, мероморфная в $\Omega$, является решением уравнения $L_1u=(\mu-\lambda_0)u,$ то потенциал $q_1$ безмонодромен в $\Omega$. Ясно, что то же самое верно и для $D_n(q_0)$ — результата $n$ итераций преобразований Дарбу на некоторых уровнях $\varphi_0,\varphi_1,…,\varphi_{n-1}$.
Пусть $\Omega $ — односвязная область, $\mathcal{O}(\Omega)$ и $TM(\Omega)$ — множество соответственно аналитичных и безмонодромных в $\Omega$ функций, $B\subset\mathcal{O}(\Omega)$, $D(B,\Omega)=\{q$: существуют $q_0\in B$ и $D_n$ такие, что $q=D_n(q_0)\}$. Тогда сказанное выше означает, что при любом $B\subset \mathcal{O}(\Omega)$ $D(B,\Omega)\subset TM(\Omega)$. В [1] было доказано, что если $\Omega=\mathbb{C}$ и $B=\{0\}$, то верно и обратное включение: $TM(\mathbb{C})=D(\{0\},\mathbb{C})$. Впоследствии (см. [2]) этот результат был распространен на класс $B=\{az^2+bz+c, a,b,c\in\mathbb{C}, a\neq0\}$. Но оказалось, для $B=ż^6+\nu z^2, \nu\in \mathbb{Z}\}$ равенство $TM(\mathbb{C})= D(B,\mathbb{C})$ неверно (см. [3]).
В связи со сказанным возникает вопрос: для каких областей $\Omega$ и каких классов $B\subset\mathcal{O}(\Omega)$ верно равенство $D(B,\Omega)= TM(\Omega)$?
Справедлива
Theorem. Пусть функция $q(z)$ мероморфна в выпуклой области $\Omega\subset\mathbb{C}$. Тогда для того, чтобы функция $q$ принадлежала $TM(\Omega)$ необходимо и достаточно, чтобы для любой ограниченной области $\omega$, такой, что $\overline{\omega}\subset \Omega, \quad q\in D(\mathcal{O}(\omega),\omega)$.
Работа поддержана Министерством образования и науки РФ (грант № 01201456408) и РФФИ (грант № 15-01-01095).

Материалы: abstract.pdf (175.5 Kb)

Список литературы
  1. J. J. Duistermaat, F. A. Grünbaum, “Differential equations in the spectral parameter”, Commun. Math. Phys., 103 (1986), 177–240  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
  2. А. А. Обломков, “Безмонодромные операторы Шредингера с квадратично растущим потенциалом”, ТМФ, 121:3 (1999), 374–386  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  3. J. Gibbons, A. P. Veselov, “On the rational monodromy-free potentials with sextic growth”, J. Math. Phys., 50:1 (2009), 013513  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017