RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
28 мая 2015 г. 14:30, Приближения функций и гармонический анализ. II, г. Москва, МИАН
 


Метрические свойства гармонической меры на жордановых кривых

И. Р. Каюмов

Казанский (Приволжский) федеральный университет
Материалы:
Adobe PDF 120.5 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:83
Материалы:31

Аннотация: Пусть $\Omega$ – односвязная область на плоскости, ограниченная жордановой кривой $\partial\Omega$. Пусть $E$ – произвольное борелевское множество на этой кривой. Через $\omega_z(E)$ обозначим гармоническую меру множества $E$ относительно точки $z \in \Omega$. Зафиксируем точку $z_0 \in \Omega$ и будем рассматривать функцию $\omega(E)=\omega_{z_0}(E)$ как функцию на борелевских множествах кривой $\partial\Omega$. Полученная таким образом мера $\omega$ не зависит от выбора точки $z_0 \in \Omega$.
Из классической теоремы Рисса–Привалова следует, что если $\partial\Omega$ является спрямляемой кривой, то $\omega$ абсолютно непрерывна относительно линейной меры Лебега на этой кривой. М. А. Лаврентьевым построен пример такой жордановой кривой $\partial\Omega$, что $\omega$ не является абсолютно непрерывной мерой относительно линейной меры Лебега на этой кривой.
В 1972 году Л. Карлесон показал, что существует положительное число $\alpha > 0$ такое, что $\omega$ абсолютно непрерывна относительно $\Lambda_{1/2+\alpha}$, где $\Lambda_{1/2+\alpha}$$\varphi$-мера Хаусдорфа с функцией $\varphi(t)=t^{1/2+\alpha}$.
В 1985 году Н. Г. Макаров существенно усилил этот результат показав, что существует постоянная $C>0$ такая, что $\omega$ абсолютно непрерывна относительно $\Lambda_\varphi$, где
$$ \varphi(t)=t\exp(C\sqrt{\log\frac{1}{t}\log\log\log\frac{1}{t}}). $$

С. Роде и Х. Поммеренке (1991) показали, что в качестве $C$ можно взять число $30$. Автором эта константа была понижена до $6 \sqrt{3}$.
Пусть $C_M$ – минимальная константа для которой гармоническая мера абсолютно непрерывна относительно $\Lambda_\varphi$. Совместно со шведским математиком Х. Хеденмальмом удалось получить оценки
$$ 0.91 \le C_{\mathrm M} \le2\sqrt{\frac{\sqrt{24}-3}{5}}=1.2326\dotsc. $$
Оценка снизу получена путем построения конформных снежинок с большой фрактальной размерностью границы.
Кроме того, в докладе предполагается обсудить и указать связь наших оценок $C_M$ c недавними результатами К. Макмюллена [1], связанных с динамикой размерности жордановых кривых фрактального типа.

Материалы: abstract.pdf (120.5 Kb)

Список литературы
  1. C. T. McMullen, “Thermodynamics, dimension and the Weil–Petersson metric”, Invent. Math., 173 (2008), 365–425  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017