RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
29 мая 2015 г. 16:40, Дифференциальные уравнения, г. Москва, МИАН
 


О числовом образе одного класса квадратичных форм и собственных значениях эллиптических операторов

А. Б. Костин

Национальный исследовательский ядерный университет "МИФИ", г. Москва
Материалы:
Adobe PDF 202.3 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:32
Материалы:16

Аннотация: В унитарном пространстве $V$ со скалярным произведением $(f,g)_V$ и нормой $\|f\|_V$ рассмотрим две полуторалинейные формы $\mathcal{L}_0( f, g )$ и $\mathcal{Q}( u, v )$ с областями определения $D( \mathcal{L}_0 )\times D( \mathcal{L}_0 )$ и $D( \mathcal{Q} )\times D( \mathcal{Q} )$ такими, что $D(\mathcal{L}_0)\subseteq D( \mathcal{Q}) \subseteq V$. Будем предполагать, что форма $\mathcal{L}_0$ является эрмитовой, т. е.
\begin{equation} \forall f, g \in D( \mathcal{L}_0 )\qquad \mathcal{L}_0( f, g )= \overline{\mathcal{L}_0( g, f )} \end{equation}
и, кроме того, найдутся числа $p>0$, $q\in \mathbb{R}$ такие, что для всех элементов $f\in D( \mathcal{L}_0 )$ с нормой $\| f \|_V = 1$ справедлива оценка
\begin{equation} \mathcal{L}_0( f, f ) \ge p  | \mathcal{Q}( f, f ) |^2 + q  ( f, f )_V \end{equation}

Рассмотрим возмущëнную форму $\mathcal{L}( f, g ) = \mathcal{L}_0( f, g ) + \mathcal{Q}( f, g )$ с областью определения $D( \mathcal{L} )\times D( \mathcal{L} )$, где $D( \mathcal{L} )= D( \mathcal{L}_0 )$. Множество значений, которые принимает функция $\mathcal{L}( f, f )$, когда $f \in D( \mathcal{L})$, $\| f \|_V = 1$, будем называть числовым образом формы $\mathcal{L}$ и обозначать $\Theta (\mathcal{L})$ (см. [1]). Собственным значением формы $\mathcal{L}( f, g )$, как обычно, называется число $\lambda \in \mathbb{C}$ такое, что существует ненулевой элемент $h\in D( \mathcal{L} )$, для которого выполнено равенство $\mathcal{L}( h, g ) = \lambda ( h, g )_V$ при любом элементе $g\in D( \mathcal{L} )$. Отметим, что всякое собственное значение $\lambda \in \Theta (\mathcal{L})$.
Теорема. Пусть выполнены условия (1), (2). Тогда числовой образ $\Theta ( \mathcal{L} )$ квадратичной формы $\mathcal{L}( f, f )$ лежит во множестве
\begin{gather*} \mathcal{D}_0 (p, q) \equiv \bigcap_{\varepsilon \in (0, p]} \mathcal{D} (\varepsilon; p, q) ,\quad где семейство множеств \mathcal{D} имеет вид
\mathcal{D} (\varepsilon; p, q)\equiv \{ \lambda = \alpha + i\beta \in \mathbb{C} \mid \alpha \ge (p-\varepsilon)|\beta|^2 - \frac{1}{4\varepsilon} + q \}. \end{gather*}

Множество $\mathcal{D}_0$ может быть найдено прямым вычислением.
\begin{equation*} \mathcal{D}_{0}=\{ \begin{array}{ll} \alpha\ge p \beta^{2}-|\beta|+q, & если |\beta|\ge \dfrac{1}{2p};
\alpha\ge q-\dfrac{1}{4p}, & если |\beta|\le \dfrac{1}{2p}. \end{array} . \end{equation*}
Из этой теоремы в качестве следствия получен результат о расположении на плоскости $\mathbb{C}_\lambda$ собственных значений достаточно широкого класса линейных (не обязательно эллиптических) операторов. Приведены примеры эллиптических операторов, показывающие асимптотическую точность найденного множества $\mathcal{D}_0$, которое в свою очередь лежит внутри любой из парабол Гепперта–Карлемана ([2], [3]).

Материалы: abstract.pdf (202.3 Kb)

Список литературы
  1. Т. Като, Теория возмущений линейных операторов, Мир, М., 1972
  2. H. Geppert, “Über Randwertprobleme bei linearen eliptischen Differential-gleichungen”, Mathematische Annalen, 98:2 (1927), 264–272  mathscinet  zmath
  3. T. Carleman, “Über die asymptotische Verteilung der Eigenwerte partieller Differen-tialgleichungen”, Berichte der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu Leipzig. Math.-Phys. Klasse, 88 (1936), 119–132
  4. В. А. Ильин, Е. И. Моисеев, “Об отсутсвии свойства базисности у системы корневых функций задачи с наклонной производной”, Дифференц. уравнения, 30:1 (1994), 128–143  mathscinet  zmath
  5. А. Б. Костин, “О комплексных собственных значениях эллиптического оператора и примере неединственности решения обратной задачи”, Доклады Академии Наук, 453:2 (2013), 138–141  crossref  zmath


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017