RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 16:40, Дифференциальные уравнения II, г. Москва, МИАН
 


Задачи оптимизации коэффициентами полулинейных УМФ эллиптического типа с разрывными данными и их конечномерная аппроксимация

Ф. В. Лубышев, А. Р. Манапова

Башкирский государственный университет
Материалы:
Adobe PDF 163.7 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:46
Материалы:21

Аннотация: Пусть
$$ \Omega=\{r=(r_1,r_2)\in\mathbb R^2:0\leq r_\alpha \leq l_\alpha, \alpha=1,2\} $$
– прямоугольник в $\mathbb R^2$ с границей $\partial\Omega=\Gamma$. Пусть область $\Omega$ разделена прямой $r_1=\xi$, где $0<\xi<l_1$, на подобласти
$$ \Omega_1\equiv\Omega^-=\{0<r_1<\xi, 0<r_2<l_2\},\qquad \Omega_2\equiv\Omega^+=\{\xi<r_1<l_1, 0<r_2<l_2\} $$
с границами $\partial \Omega_1\equiv\partial\Omega^-$ и $\partial \Omega_2\equiv\partial\Omega^+$. Через $\overline{\Gamma}_k$ будем обозначать границы областей $\Omega_k$ без $S$, $k=1,2$. Так что $\partial\Omega_k=\overline\Gamma_k\cup S$, где части $\Gamma_k$, $k=1,2$ – открытые непустые подмножества в $\partial\Omega_k$, $k=1,2$; $\overline\Gamma_1\cup\overline\Gamma_2=\partial\Omega=\Gamma$. Через $n_\alpha$, $\alpha=1,2$ будем обозначать внешнюю нормаль к границе $\partial\Omega_\alpha$ области $\Omega_\alpha$, $\alpha=1,2$. Пусть, далее, $n=n(x)$ – единичная нормаль к $S$ в какой-либо ее точке $x\in S$, ориентированная, например, таким образом, что нормаль $n$ является внешней нормалью к $S$ по отношению к области $\Omega_1$, то есть нормаль $n$ направлена внутрь области $\Omega_2$. Ниже, при постановке краевых задач для состояний процессов управления, $S$ – это прямая, вдоль которой разрывны коэффициенты и решения краевых задач, которые в областях $\Omega_1$ и $\Omega_2$ обладают некоторой гладкостью.
Пусть условия управляемого физического процесса позволяют моделировать его в области $\Omega=\Omega_1\cup\Omega_2\cup S$, состоящей из двух частей (подобластей) $\Omega_1$ и $\Omega_2$, разбитой на части внутренней границей $S$, следующей задачей Дирихле для полулинейного уравнения эллиптического типа с разрывными коэффициентами и решениями: требуется найти функцию $u(x)$, определенную на $\overline\Omega$, удовлетворяющую в каждой из областей $\Omega_1$ и $\Omega_2$ уравнению
$$
\begin{array}{l} \displaystyle Lu(x)=-\sum_{\alpha=1}^2{\frac{\partial}{\partial x_\alpha}} (k_\alpha(x)\frac{\partial u}{\partial x_\alpha}) +d(x)q(u)=f(x) , \quad x\in\Omega_1\cup\Omega_2,
\textrm{и условиям }\quad\displaystyle u(x) = 0, \quad x\in\partial\Omega=\overline\Gamma_1 \cup\overline\Gamma_2,
\displaystyle [k_1(x)\frac{\partial u}{\partial x_1}]=0,\quad G(x)=(k_1(x)\frac{\partial u}{\partial x_1})=\theta(x_2)[u],\quad x\in S, \end{array}
\tag{1} $$
где
$$\displaystyle u(x)=\{
\begin{array}{ll} u_1(x), & $x\in \Omega_1$;
u_2(x), & $x\in \Omega_2$, \end{array}
.\; \displaystyle q(\xi)=\{
\begin{array}{ll} q_1(\xi_1), & $\xi_1\in \mathbb{R$;}
q_2(\xi_2), & $\xi_2\in \mathbb{R$,} \end{array}
. $$

$$\displaystyle k_\alpha(x), d (x), f (x)=\{
\begin{array}{ll} k_\alpha^{(1)}(x), d_1(x), f_1(x), & $x\in\Omega_1$;
k_\alpha^{(2)}(x), d_2(x), f_2(x), & $x\in\Omega_2, \; \alpha=1,2$. \end{array}
. $$
Здесь $[u]=u_2(x)-u_1(x)$ – скачок функции $u(x)$ на $S$; $k_\alpha(x)$, $\alpha=1,2$, $ f(x)$ – известные функции, определяемые по-разному в $\Omega_1$ и $\Omega_2$, претерпевающие разрыв первого рода на $S$; $q_\alpha(\xi_\alpha)$, $\xi_\alpha\in \mathbb R$, $\alpha=1,2$, $d_2(x)$, $x\in \Omega_2$ – заданные функции; $g(x)\equiv(\theta(x),d_1(x)) $, – управление. Относительно заданных функций будем предполагать: $k_\alpha(x) \in W^1_\infty(\Omega_1)\times W^1_\infty(\Omega_2)$, $\alpha=1,2$, $d_2(x)\in L_\infty(\Omega_2)$, $f(x)\in L_2(\Omega_1)\times L_2(\Omega_2)$; $0<\nu\leq k_\alpha(x)\leq \overline\nu$, $\alpha=1,2$, $0\leq d_0\leq d_2(x)\leq \overline{d}_0$, $x\in\Omega_2$; $\nu,\overline\nu,d_0,\overline{d}_0$ – заданные константы; функции $q_\alpha(\xi_\alpha)$, определенные на $\mathbb R$ со значениями в $\mathbb R$, удовлетворяют условиям: $q_\alpha(0)=0$, $0<q_0\leq(q_\alpha(\xi_\alpha)-q_\alpha(\overline{\xi}_\alpha))/(\xi_\alpha-\overline{\xi}_\alpha)\leq L <\infty$, для всех $\xi_\alpha$, $\overline{\xi}_\alpha \in \mathbb R,\; \xi_\alpha\neq \overline{\xi}_\alpha$, $\alpha=1,2$.
Введем множество допустимых управлений $U=\prod\limits_{\alpha=1}^2 U_\alpha$, $U_\alpha\subset H_\alpha$, $\alpha=1,2$, $H=H_1\times H_2$, $H_1=L_2(S)$, $H_2=L_2(\Omega_1)$ – пространства управлений,
$$
\begin{array}{c} U_1=\{g_1(x)=\theta(x)\in L_2(S):\;0< g_0\leq g(x)\leq \overline g_0 \textrm{ п.в. на }S\},
U_2=\{g_2(x)=d_1(x)\in L_2(\Omega_1):\;0< d_0\leq d_1(x)\leq \overline d_0 \textrm{ п.в. на }\Omega_1\}, \end{array}
\tag{2} $$
где $d_0$, $\overline d_0$, $g_0$, $\overline g_0$ – заданные числа.
Зададим функционал цели $J:\;U\rightarrow \mathbb R^1$ в виде
$$ g\rightarrow J(g)=\int\limits_{\Omega_1}|u(r_1,r_2;g)-u^{(1)}_0(r)|^2d\Omega_1=I(u(r;g)),\tag{3} $$
где $u^{(1)}_0\in W_2^1(\Omega_1)$ – заданная функция.
Задача оптимального управления состоит в том, чтобы найти такое управление $g_*\in U$, которое минимизирует на множестве $U\subset H$ функционал $g\rightarrow J(g)$, точнее, на решениях $u(r)=u(r;g)$ задачи (1), отвечающих всем допустимым управлениям $g=(\theta(x),d_1(x))\in U$, требуется минимизировать функционал (3).
В работе построены и исследованы разностные аппроксимации экстремальных задач, установлены оценки скорости сходимости аппроксимаций по состоянию и функционалу, слабая сходимость по управлению. Проведена регуляризация аппроксимаций. При этом исследования аппроксимаций проводятся для дифференциальных уравнений, описывающих разрывные состояния процессов управления с обобщенными решениями из классов Соболева, при естественных незавышенных априорных требованиях к гладкости входных данных и управлений.
В теплофизических терминах поставленные задачи можно трактовать как задачи оптимального управления коэффициентом граничного условия сопряжения разнородных теплопроводящих сред $\theta(x)$ и коэффициентом теплоотдачи $d_1(x)$, входящим в нелинейное слагаемое $d_1(x) q_1(u)$, характеризующее мощность нелинейных стоков тепла, зависящих от температуры и распределенных в области $\Omega_1$. При этом этот коэффициент граничного условия сопряжения характеризует термическое сопротивление неидеального контакта разнородных сред.
Работа второго автора выполнена при поддержке гранта Президента Российской Федерации для государственной поддержки молодых российских ученых – кандидатов наук (Конкурс – МК-2015).

Материалы: abstract.pdf (163.7 Kb)

Список литературы
  1. Ф. П. Васильев, Методы оптимизации, Факториал Пресс, М., 2002
  2. О. А. Ладыженская, Краевые задачи математической физики, Наука, М., 1973  mathscinet
  3. А. Н. Тихонов, В. Я. Арсенин, Методы решения некорректных задач, Наука, М., 1986
  4. Ф. В. Лубышев, А. Р. Манапова, “О некоторых задачах оптимального управления и их разностных аппроксимациях и регуляризации для квазилинейных эллиптических уравнений с управлениями в коэффициетах”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 47:3 (2007), 376–396  mathnet  mathscinet  zmath
  5. Ф. В. Лубышев, А. Р. Манапова, “Разностные аппроксимации задач оптимизации для полулинейных эллиптических уравнений в выпуклой области с управлениями в коэффициентах при старших производных”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 53:1 (2013), 20–46  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  6. Ф. В. Лубышев, А. Р. Манапова, М. Э. Файрузов, “Аппроксимации задач оптимального управления для полулинейных эллиптических уравнений с разрывными коэффициентами и решениями, с управлением в граничных условиях сопряжения”, Журнал вычислительной математики и математической физики, 54:11 (2014), 1767–1792  mathnet  crossref  mathscinet


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017