RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
28 мая 2015 г. 17:05, Приближения функций и гармонический анализ. I, г. Москва, МИАН
 


О восстановлении функций из классов Ульянова «методом Смоляка»

Н. Ж. Наурызбаев, А. А. Шоманова, Н. Темиргалиев

Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета имени Л. Н. Гумилёва
Материалы:
Adobe PDF 197.9 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:88
Материалы:27

Аннотация: Аппроксимативные задачи для функций из периодических классов $F$ с доминирующими смешанными производными тесно связаны с так называемыми «гиперболическими крестами» $(\bar{m}_{j} =\max \{|m_{j} |;1\} )$
\begin{equation} \Gamma=\Gamma_R \equiv \{m=(m_{1},…,m_{s} )\in Z^{s} :\bar{m}_1…\bar{m}_s \le R\}  (R\ge 1), \end{equation}
образующих «Спектр больших коэффициентов Фурье» этих классов $(\varepsilon >0)$
$$ \Gamma_{\varepsilon} (F)=\{m\in Z^{s} :\mathop{\sup}\limits_{f\in F} |\hat{f}(m)|\ge \varepsilon >0\}, $$
в случае (1) – классов Коробова $E_{s}^{r}$ состоящего из функций $f$ с условием $|\hat{f}(m)|\le (\bar{m}_1 \cdots \bar{m}_s )^{-r} \; (m=(m_1,…, m_s ) \in Z^s, r>1)$.
Эти задачи органически примыкают к основной проблеме «Геометрии чисел», где требуется построить решетку с минимальным значением определителя, пересекающуюся с заданным множеством самое большее по нулевому элементу (см. [1]).
В случае «гиперболических крестов» такие задачи тесно связаны с сетками с малыми дискрепансами c порядками убывания $\ll\frac{\ln ^{\beta (s)} N}{N}  (\beta (s)>0)$, которые автоматически приводят к оптимальным коэффициентам, стало быть, к точным в степенной шкале квадратурным формулам с равными весами по сетке Коробова.
Как оказалось, существуют сетки узлов с «большими» дискрепансами $\asymp \frac{1}{\ln N}$, но для которых посредством надлежащего выбора весов квадратурные формулы по ним также для классов функций с доминирующими смешанными производными можно сделать оптимальными в степенной шкале (см. [2]–[7]).
Такого сорта результаты берут начало в работах Смоляка [4], впоследствии известных под общим названием «Метод Смоляка», где существенные продвижения принадлежат В.Н.Темлякову [5], группе математиков, работающих в области под названием «Information Based Complexity» и др.
К классам функций, спектр больших коэффициентов Фурье которых образуют гиперболические кресты, относятся классы Ульянова $U_{s} (\beta, \theta, \alpha; \psi )$ (см. [3]).
Заменой «тензорных произведений классов» из [4] на «тензорные произведения функционалов» в [6] (см. также [3]) получаем новые операторы, которые на классах Ульянова дают близкие к оптимальным порядки восстановления (частично изложено в [7]).
Так, если в шкале классов Коробова $E_{s}^{r}   (r>1, s=1,2,…)$ погрешности восстановления функций по сеткам Коробова с малым дискрепансом $\ll N^{-1} \log ^{\beta (s)} N$ в степенной шкале имеют скорость убывания не быстрее $\asymp N^{-\frac{r-1}{2}},$ то по сеткам Смоляка с плохим дискрепансом $\asymp \ln ^{-1} N$ имеют неулучшаемую скорость $\asymp N^{-(r-1)},$ что мы относим к необъяснимому для нас феномену [2].
Заметим, что такие же скорости в степенной шкале для всех классов с доминирующей смешанной производной типа $SW$, $SH$ и $SB$ с дальнейшими уточнениями показателей логарифмов в их числителях.

Материалы: abstract.pdf (197.9 Kb)

Список литературы
  1. N. Nauryzbayev, N. Temirgaliyev, “An Exact Order of Discrepancy of the Smolyak Grid and Some General Conclusions in the Theory of Numerical Integration”, Found Comput Math., 2012, № 12, 139–172  crossref  mathscinet  zmath  scopus
  2. Н. Темиргалиев, “Классы $U_s(\beta,\theta,\alpha;\psi)$ и квадратурные формулы”, Докл. РАН, 393:5 (2003), 605–608  mathnet  mathscinet
  3. С. А. Смоляк, “Квадратурные и интерполяционные формулы на тензорных произведениях некоторых классов функций”, Докл. АН СССР, 148:5 (2003), 1042–1045
  4. В. Н. Темляков, “Приближенное восстановление периодических функций нескольких переменных”, Матем. сб., 128(170):2(10) (1985), 256–268  mathnet  mathscinet  zmath
  5. Н. Темиргалиев, “Тензорные произведения функционалов и их применения”, Докл. РАН, 430:4 (2010), 460–465  mathscinet  zmath
  6. Н. Темиргалиев, Н. Ж. Наурызбаев, А. А. Шоманова, “Аппроксимативные возможности вычислительных агрегатов “Типа Смоляка” с ядрами Дирихле, Фейера и Валле-Пуссена в шкале классов Ульянова”, Известия вузов. Математика, 2015, № 7, 75–81  mathnet


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017