RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
28 мая 2015 г. 17:55, Приближения функций и гармонический анализ. I, г. Москва, МИАН
 


О правильном порядке поперечников «кодирования» функций из классов $H_{p}^{\omega} (0,1)$ в лебеговой метрике $L^{q} (0,1)$

Е. Е. Нурмолдин, Б. Б. Ахметов

Институт теоретической математики и научных вычислений Евразийского национального университета имени Л. Н. Гумилёва
Материалы:
Adobe PDF 202.2 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:29
Материалы:20

Аннотация: Поперечник «кодирования» функций и информативная мощность всех линейных функционалов, по определению, есть соответственно величины
$$ \lambda ^{N} (F)=\inf_{\substack{l_{1}, \ldots, l_{N} – всевозможные линейные функционалы}} \sup_{\substack{f, g\in F:\;l_{\tau}(f)= l_{\tau}(g)(\tau =1, \ldots, N)}} \| f-g\| _{Y}, $$

$$ \delta _{N} (F)_{Y} \equiv \inf_{\substack{l_{1}, \ldots, l_{N} – всевозможные линейные функционалы,  \varphi _{N}}} \sup_{f\in F} \| f(x)-\varphi _{N} (l_{1} (f), \ldots, l_{N} (f); x)\|_{Y}, $$
где $F$ – класс функций на $[0,1]^{s}$, $Y$ – нормированное пространство, $l_{1}, \ldots, l_{N} $ – линейные функционалы над $F$, $\varphi _{N} (z_{1}, \ldots, z_{N}; x)\colon R^{N} \times [0,1]^{s} \to R^{1} $ – алгоритм переработки информации.
Двойственное соотношение (здесь оценка снизу $\lambda ^{N}\gg\delta _{N}$ к известной оценке сверху Н. П. Корнейчука принадлежит Ю. В. Малыхину) $\lambda ^{N} (F)_{Y} \asymp \delta _{N} (F)_{Y}$ по решенным (К(В)П-1-задачам) $\delta _{N} (F)_{Y}\asymp\vartheta _{N}$ позволяет получать неулучшаемые порядковые оценки для $\lambda ^{N} (F)_{Y}$, если только $\lambda ^{N} (F)_{Y} \asymp \lambda _{1}^{N} (F)_{Y}$, где
$$ \lambda _{1}^{N} (F)_{Y} =\sup \{\| f\| _{Y} :f\in F,  l_{\tau }(f)=0(\tau =1, \ldots, N)\}. $$

Как легко проверить, равенство $\lambda ^{N} (F)_{Y}=2\lambda _{1}^{N} (F)_{Y}$ выполнено для класса
$$ F=H_{p}^{\omega} (0, 1)\equiv \{f\in L^{p} (0, 1):\omega _{p} (\delta; f) \le \omega (\delta )(0\le \delta \le 1)\}\quad (1\le p\le \infty, L^{\infty } (0,1)\equiv C(0, 1)), $$
где $\omega _{p} (\delta; f)$ и $\omega (\delta )$ – модули непрерывности функции $f$ из $L^{p} (0,1)$ и в общем определении С. М. Никольского соответственно. Поэтому, применяя результаты из [1], приходим к порядковым соотношениям для поперечника по «кодированию» функций: если $2\le p<q<\infty $ и $\sum_{n=1}^{\infty }n^{\frac{q}{p} -2} \omega ^{q} (\frac{1}{n} ) <\infty$, то
$$ \lambda ^{N} (H_{p}^{\omega } )_{L^{q} } \asymp (\sum_{n=N+1}^{\infty }n^{\frac{q}{p} -2} \omega ^{q} (\frac{1}{n} ) )^{\frac{1}{q}} $$
и если $2\le p<\infty $ и $\sum_{n=1}^{\infty }n^{\frac{1}{p} -1} \omega (\frac{1}{n} ) <\infty$, то
$$ \lambda ^{N} (H_{p}^{\omega } )_{L^{\infty } } \asymp \sum\limits _{n=N+1}^{\infty } n^{\frac{1}{p}-1} \omega (\frac{1}{n} ). $$

В заключение отметим, что в случае $2\le p<q<\infty$ в $\delta _{N} (H_{p}^{\omega} (0,1))_{L^{q} (0,1)}$ согласно соответствующему результату П. Л. Ульянова (1964 год), среди всех вычислительных агрегатов наилучше приближают частичные суммы ряда Фурье–Хаара, коэффициенты Фурье которых, без потери порядковой точности, можно вычислять с точностью $\frac{1}{N} (\sum _{n=N}^{\infty }n^{\frac{q}{p} -2} \omega ^{q} (\frac{1}{n} ) )^{\frac{1}{q}}$, но никак не (порядково) больше (что есть решение задачи К(В)П-2).

Материалы: abstract.pdf (202.2 Kb)

Список литературы
  1. Ш. У. Ажгалиев, Н. Темиргалиев, “Информативная мощность всех линейных функционалов при восстановлении функций из классов $H_p^\omega$”, Матем. сб., 198:11 (2007), 3–20  mathnet  crossref  mathscinet  zmath


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017