RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
29 мая 2015 г. 18:20, Дифференциальные уравнения, г. Москва, МИАН
 


Представление решений одного класса интегро-дифференциальных уравнений с операторными коэффициентами

Р. Перез Ортизab

a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
b Mexican Center for Economic and Social Studies (CEMEES)
Материалы:
Adobe PDF 231.0 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:47
Материалы:19

Аннотация: Изучаются интегро-дифференциальные уравнения с неограничеными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве, представляющие собой абстрактное волновое уравнение, возмущенное вольтерровыми интегральными операторами с ядрами, зависящими от параметра. К исследованию указанных уравнений приводят многочисленые задачи, возникающие в приложениях: в теории вязкоупругости, в теории распространения тепла в средах с памятью, и в теории усреднения. В работе получены представления решений следующей задачи для интегродифференциального уравнения вида
\begin{gather} \frac{d^2u}{dt^2}+A^2u- \int_{0}^{t}K(t-s)A^{2\xi} u(s)  ds=f(t), \qquad t \in \mathbb{R}_{+}, \label{N408:eq1}
u(+0)=\varphi_0, \qquad u^{(1)}(+0)=\varphi_1. \label{N408:eq2} \end{gather}
в виде рядов по экспонентам, отвечающим точкам спектра оператор-функции $L(\lambda)$, являющейся символом уравнения \eqref{N408:eq1}. Здесь $A$ – самосопряженный положительный оператор, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве $H$, имеющий компактный обратный, а параметр $\xi \in (0, 1)$. Пусть $K(t)$ допускает представление $K(t)=\sum_{j=1}^{\infty}c_j\mathrm{e}^{-\gamma_j t}$, где $c_j>0$, $\gamma_{j+1}>\gamma_{j}>0$, $j \in \mathbb{N}$, $\gamma_j \to +\infty$ $(j \to +\infty)$ и выполнены условия
  • a) $\sum_{j=1}^{\infty}\frac{c_j}{\gamma_j}<1$,
  • b) $\sum_{j=1}^{\infty} c_j<+\infty$,
  • c) $\sup_{k}\{\gamma_k(\gamma_{k+1}-\gamma_k)\}=+\infty$.

Теорема . Пусть $f(t)=0$ при $t \in \mathbb{R}_+$, вектор-функция $u(t) \in W_{2, \gamma}^{2}(\mathbb{R}_+, A^2)$, $\gamma>0$, является сильным рещением задачи \eqref{N408:eq1}–\eqref{N408:eq2}, и выполнены условия a) и c). Тогда для любого $t \in \mathbb{R}_+$ решение $u(t)$ задачи \eqref{N408:eq1}–\eqref{N408:eq2} представимо в виде
$$ u(t)=\sum_{n=1}^{\infty}(\frac{(\varphi_{1n}+\lambda_{n}^{\pm}\varphi_{0n}) \mathrm{e}^{\lambda_{n}^{\pm}t}}{\ell_{n}^{'}(\lambda_{n}^{\pm})})e_n +\sum_{n=1}^{\infty}(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(\varphi_{1n}+\lambda_{n, k}\varphi_{0n}) \mathrm{e}^{\lambda_{n, k}t}}{\ell_{n}^{'}(\lambda_{n, k})})e_n $$
сходящегося по норме пространства $H$, где $\varphi_{0n}=(\varphi_0, e_n)$, $\varphi_{1n}=(\varphi_1, e_n)$, $Ae_n=a_ne_n$ ($\{e_n\}$ – ортонормированный базис, составленный из собственных векторов оператора $A$), а $\lambda_{n, k}$ – действителньные нули мероморфной функции $\ell_n(\lambda)=(L(\lambda)e_n, e_n)$, удовлетворяющие неравенствам,
\begin{equation} \cdots -\gamma_k<\lambda_{n, k}< \cdots < -\gamma_{1}<\lambda_{n, 1}<0, \qquadи\qquad \lim_{n\to\infty} \lambda_{n, k}=-\gamma_k \end{equation}
а $\lambda_{n}^{\pm}$ – пара комлексно-сопряженных нулей, $\lambda_{n}^{+}=\overline{\lambda_{n}^{-}}$, асимптотически предстамимых в виде:
  • 1) если выполнено условие b), то
    $$ \lambda^{\pm}_{n}(\xi)=-\frac{1}{2} \frac{1}{a_{n}^{\delta_1(\xi)}} \sum_{j=1}^{\infty}c_j+O(\frac{1}{a^{\delta_2(\xi)}_{n}})\pm i(a_{n}+O(\frac{1}{a^{\delta_3(\xi)}_{n}})), \qquad a_n \to +\infty, $$
    где все $\delta_k(\xi)$ положительны (см. [1], [2]).
  • 2) если условие b) не выполнено, то
    $$ \lambda^{\pm}_{n}(\xi)=\frac{C_k}{a_{n}^{\beta_1(\xi)}}\pm i(a_{n} +\frac{C_k}{a_{n}^{\beta_1(\xi)}})+O(\frac{1}{a^{\beta_3(\xi)}_{n}}), \qquad a_n \to +\infty, $$
    где не все $\beta_k(\xi)$ положительны (см. [1], [2]).

Локализация спектра оператор-функции $L(\lambda)$, являющейся символом уравнения \eqref{N408:eq1} приведена в работах [1], [2].

Материалы: abstract.pdf (231.0 Kb)

Список литературы
  1. В. В. Власов, Р. Перез Ортиз, “Спектральный анализ интегро-дифференциальных уравнений, возникающих в теории вязкоупругости и теплофизике”, Матем. заметки (в печати)
  2. R. Perez Ortiz, V. V. Vlasov, Spectra of the Gurtin–Pipkin type equations with the kernel, depending on the parameter, arXiv: 1403.4382
  3. R. Perez Ortiz, V. V. Vlasov, Correct solvability of hyperbolic Volterra equations with kernels depending on the parameter, arXiv: 1412.1067
  4. Н. А. Раутиан, “О структуре и свойствах решений интегродифференцияльных уравнений, возникающих в теплофизике и акустике”, Матем. заметки, 90:3 (2011), 470–473  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  5. G. Amendola, M. Fabrizio, J. M. Golden, Thermodynamics of Materials with Memory, Theory and Applications, Springer, New York, 2012  zmath


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017