RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
25 мая 2015 г. 18:20, Дифференциальные уравнения, г. Москва, МИАН
 


К теории нелинейных переопределeнных систем трeх и четырeх дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией в пространстве

Р. Пиров

Таджикский государственный педагогический университет имени Садриддина Айни
Материалы:
Adobe PDF 197.5 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:62
Материалы:25

Аннотация: В монографии [1] рассматривались системы уравнений в частных производных первого порядка. В $§5$ работы [2] подробно щучены квазилинейные системы второго порядка с одной неизвестной функцией. Эти исследования продолжены в работе [3]. В данном сообщении рассматриваются некоторые типы систем, указанные в заглавии. Оговоримся сразу, что в исследуемых системах правые части заданные, а $U$ – неизвестная функции, которые ищутся в классе $C^4(\Pi)$, где $\Pi$ – некоторая односвязная ограниченная область пространства $R^3$, содержащая внутри себя начало координат. Основной метод исследования состоит в замене производных первого и второго порядка правых частей на новые неизвестные функции, переходе к системам с большим числом неизвестных функций и в установлении связей с достаточно изученными системами в полных дифференциалах (п.д.-система) [4].
I. Системы с тремя уравнениями. Здесь исследуются системы

\begin{equation}\label{N186:1} U_{xx},U_{yy},U_{zz}=f^{i}(x,y,z;U,U_x,U_y,U_z,U_{xy},U_{yz},U_{zx}),\qquad i=\overline{1,3}, \end{equation}


\begin{equation}\label{N186:2} U_{xy},U_{yz},U_{zx}=f^{j}(x,y,z;U,U_x,U_y,U_z,U_{xx},U_{yy},U_{zz}),\qquad j=\overline{1,3}, \end{equation}


\begin{equation}\label{N186:3} U_{xx},U_{yy},U_{xz}=f^{k}(x,y,z;U,U_x,U_y,U_z,U_{xz},U_{yz},U_{zz}), \qquad k=\overline{1,3}. \end{equation}

1. Пусть дана система (1). В силу замен $U_x=p(x,y,z),U_y=q(x,y,z),U_z=R(x,y,z),U_{xx}=p_y=Q(x,y,z) , U_{yz}=q_z=\tau (x,y,z),U_{zx}=R_x=t(x,y,z)$ операции перекрестного дифференцированная $p_{xy}=p_{yx},p_{yz}=p_{zy},p_{zx}=p_{xz},q_{xy}=q_{yx}, q_{yz}=q_{zy}, q_{zx}=q_{xz}, R_{xy}=R_{yx}, R_{yz}=R_{zy},R_{zx}=R_{xz}$ и некоторыми несложными преобразованиями получим по отношению к исходной эквивалентную п.д.-систему
\begin{equation}\label{N186:4} \begin{cases} U_x=p(x,y,z),U_y=q(x,y,z),U_z=R(x,y,z),
p_x=f^1(x,y,z;U,p,q,R,Q,t,\tau), p_y=Q(x,y,z), p_z=t(x,y,z)
q_x=Q(x,y,z), q_y=f^2(x,y,z;U,p,q,R,Q,t, \tau),q_z=\tau(x,y,z)
R_x=\tau (x,y,z),R_y=t(x,y,z), R_z=f^3(x,y,z;U,p,q,R,Q,t, \tau)
Q_x, Q_y, Q_z, \tau _x, \tau _y, \tau_z, t_z, t_y, t_z=f^i,\quad i=\overline{4,12} \end{cases} \end{equation}
где правые части $f^4-f^{12}$ явно выражаются через $f^i,i=\overline{1,3}$ и их производные с первого до третьго порядка. Уравнения (4), (6) составляют п.д. -систему относительно семи неизвестных функций $U, p, q, R, Q, \tau, t$ и девяти тождественно выполненых условиий полной интегрируемости (у.п.и). Для (4) будет девять тождественно выполненных соотношений
\begin{equation}\label{N186:5} H^i(x,y,z; U, p, q,R,Q, \tau, t)=0,\qquad i=\overline{1,9}, \end{equation}
где $H^i ,i=\overline{1,9}$ явно выражаются через правые части (4) и их частные производные с первого до четвертого порядка.
Для исходной системы будет корректна следующая задача с начальными данными:
\begin{equation}\label{N186:6} [U]_0=c_1,[U_x]=c_2, [U_y]_0=c_3, [U_z]_0=c_4, [U_{xy}]_0=c_5,[U_{yz}]_0=c_6, [U_{zx}]_0=c_7 \end{equation}
для которой можно считать доказанной следующую теорему:
Теорема. Пусть в системе (1) $f^i,i=\overline{1,3} , U\in C^4,f^2\neq0$ и $\alpha <\min(a,b/M),M=\max |f^i |,i=\overline{1,3} $.
Если соотношения (5) в некоторой окрестности точки $(x_0,y_0,z_0;U_0,U_x^0,U_y^0,U_z^0,U_{xx}^0,U_{yz}^0,U_{zx}^0)$ выполняются тождественно, то задача (1), (6) разрешима единственным образом.
Иными словами многообразие решений содержит семь произвольных постоянных. Если хотя бы одно из условий $H^i=0,i=\overline{1,9}$ не выполняется тождественно, а разрешено в виде $t=\varphi(x,y,z;U,p,q,R,Q,\tau),\varphi \in C^1$, то приходим к п.д. системе относительно шести неизвестных функций и шести явных условиях совместности.
2. Теперь рассмотрим систему (2). Здесь осуществленные замены $U_x=p,U_y=q,U_z=R,q_x=Q,R_z=,p_z=t$ c учетом тождественного выполнения равенств $p_y=q_x,q_z=R_y,p_z=R_x$ приводят к квазилинейной системе

\begin{equation}\label{N186:7} \begin{cases} U_x=p(x,y,z), U_y=q(x,y,z), U_z=R(x,y,z),
p_x,p_y=f^k(x,y,z;U,p,q,R,Q, \tau , t),k=1,2, p_z=t(x,y,z),
q_x, q_y=f^k(x,y,z; U,p,q,R,Q, \tau , t), k=1,2, q_z=Q(x,y,z),
R_x=t(x,y,z), R_y=f^3(x,y,z; U, p,q, R,\tau , t), R_z=\tau(x,y,z). \end{cases} \end{equation}

Имея систему (7) приходим к ситуации, сходной с той, что наблюдалась в пункте 1, т.е. для нее можем утверждать, что многообразие решений содержит соответственно семь или шесть произвольных постоянных.
3. В отличие от систем (1) и (2) в левых частях системы (3) нет частных производных по z $(U_{xx},U_{yy},U_{xy} )$. Осуществляя замены $U_x=p,U_y=q,U_z=R,U_{yz}=q_z=Q,U_{xz}=p_z=,U_{zz}=R_z=t$ придем к системе
$$ \begin{cases} U_x=p, U_y=q, U_z=R, p_x=f^1, p_y=f^3, p_z=\tau
q_x=f^3, q_y=f^2, q_z=Q, R_x=\tau , R_y=Q, R_z=t. \end{cases} $$

Повторяя процедуру аналогичную пунктам 1 и 2, получим еще девять неразрешенных относительно $\tau_x,\tau_y,\tau_z,Q_x,Q_y,Q_z,t_x,t_y,t_z$ уравнений. Разрешая их, опять-таки приходим к п.д.- системе относительно семи неизвестных функций, для которой имеет место аналогичная как п. 1 и 2 теорема с девятью явными условиями совместности, совершенно отличающимися от (5).
II. Системы с четырьмя уравнениями. Рассмотриваются системы вида
$$ U_{xx}, U_{xy}, U_{xz}, U_{yz}=f^i(x,y,z,U, U_x, U_y, U_z, U_{yy}),\qquad i=\overline{1,4} $$
и
$$ U_{xx}, U_{xy}, U_{zz}, U_{yz}=f^k(x,y,z,U, U_x, U_y, U_z, U_{yy}, U_{zz}),\qquad k=\overline{1,4}$$

Следуя схеме исследования первой части работы выяснено, что многообразия решения этих систем соответственно содержать пять и шесть произвольных постоянных.

Материалы: abstract.pdf (197.5 Kb)

Список литературы
  1. E. Goursat, Lecons sur l'inteqration des equations aux derivees partielles du premier ordre, Paris, 1921, 454 pp.
  2. Л. Г. Михайлов, Некоторые переопределенные системы уравнений в частных производных с двумя неизвестными функциями, Душанбе, 1986, 116 с.  mathscinet
  3. Р. Пиров, “Исследование некоторых нелинейных систем уравнений в частных производных второго порядка с одной неизвестной функцией на плоскости”, Крайовi задачi для диференциальних рiвнянь, 14, выдавництво “Прут”, Чернiвцi, 2006, 313–320
  4. Ф. Хартман, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Мир, М., 1970, 719 с.


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017