RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
29 мая 2015 г. 16:40, Приближения функций и гармонический анализ, г. Москва, МИАН
 


$L_p$-отклонения числовых последовательностей в задачах численного интегрирования

Е. А. Севастьянов
Материалы:
Adobe PDF 162.9 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:61
Материалы:20

Аннотация: Понятие “отклонение” дает количественную меру отклонения распределения числовой последовательности от некоторого идеального распределения. Оно широко используется в теории равномерного распределения последовательностей и ее приложениях. В частности, качество аппроксимации интеграла Римана
\begin{equation*} \int\limits_0^1 f(x)dx \end{equation*}
средними арифметическими
\begin{equation*} \frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k)\qquad(x_k\in[ 0,1 ]) \end{equation*}
непосредственно связано с отклонением последовательности $\{x_k\}$ “узлов”.
Пусть $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$ — конечная последовательность действительных чисел такая, что $0\le x_1<x_2<\ldots<x_n<1$; $A([ 0,x );X)$ — так называемый счетчик, по определению равный количеству членов $x_k$ последовательности $X$, для которых $x_k\in[ 0,x )$ $(0<x\le1)$. Положим
\begin{equation*} \Delta(x)=\Delta(x;X)=\frac1nA([ 0,x );X)-x\quad(0<x\le1),\Delta(0)=0. \end{equation*}

Величину
\begin{equation*} D_p(X)=\|\Delta(x)\|_p=(\int\limits_0^1|\Delta(x)|^pdx)^\frac1p,\qquad0<p\le\infty, \end{equation*}
принято рассматривать как количественную характеристику равномерности распределения последовательности $X$ на отрезке $[ 0,1 ]$ и называть $L_p$-отклонением заданной последовательности ([1], гл.2, §1). Значение $D(X):=D_\infty(X)$ наиболее употребительно в качестве характеристики последовательности $X$ и называется просто отклонением или экстремальным отклонением. В задачах численного интегрирования могут представлять интерес $L_p$-отклонения при конечных $p$. Покажем это на примере следующего результата Г. Нидеррейтера [2] (см. также [1], гл.2, §5): пусть $f$ — непрерывная на $[ 0,1 ]$ функция, $\omega(f;\delta)$ — ее равномерный модуль непрерывности, $X=\{x_1,\ldots,x_n\}$, $0\le x_1<x_2<\ldots<x_n<1$. Тогда
\begin{equation} |\frac1n\sum_{k=1}^nf(x_k)-\int\limits_0^1f(x)dx|\le\omega(f;D(X)).\label{N355:1} \end{equation}

Доказывается, что в этом неравенстве $D(X)$ $(=D_\infty(X))$ можно заменить на $D_1(X)$, если модуль $\omega(f;\delta)$ является выпуклым.

Материалы: abstract.pdf (162.9 Kb)

Список литературы
  1. Л. Кейперс, Г. Нидеррейтер, Равномерное распределение последовательностей, Наука, М., 1985
  2. H. Niederreiter, “Methods for estimating discrepancy”, Applications of Number Theory to Numerical Analysis, S. K. Zaremba (ed), Academic Press, N.Y., 1972, 203–236  mathscinet


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017