RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 14:55, Функциональные пространства, г. Москва, МИАН
 


О весовых пространствах Соболева на полуоси

В. Д. Степановa, Е. П. Ушаковаb

a Российский университет дружбы народов, г. Москва
b Вычислительный центр Дальневосточного отделения РАН
Материалы:
Adobe PDF 168.0 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:67
Материалы:22

Аннотация: Пусть $1<p<\infty$ и $ \|f\|_p:=(\int_0^\infty|f(x)|^p \mathrm{d}x)^{1/p}. $ Обозначим через $\mathring{AC}$ множество всех абсолютно непрерывных функций с компактными носителями в $(0,\infty)$ и определим весовое пространство Соболева $\mathring{W}_{p}^1\equiv \mathring{W}_{p}^1(v_0,v_1)$ как замыкание $\mathring{AC}$ по норме
$$ \|f\|_{\mathring{W}_{p}^1}:=\|fv_0\|_p+\|f' v_1\|_p, $$
где $v_0$ и $v_1$ — измеримые на $(0,\infty)$ весовые функции такие, что $0<v_0(x),v_1(x)<\infty$ для п.в. $x\in (0,\infty)$ и $v_0,v_1\in L_\mathrm{loc}^p$, $1/v_1\in L_\mathrm{loc}^{p'}$, где $p':=\frac{p}{p-1}$. Для простоты полагаем, что $\mathring{W}_{p}^1={W}_{p}^1.$ Тогда существуют функции $a(x)$ и $b(x)$ такие, что $a(x)<x<b(x)$ и для всех $x\in (0,\infty)$
$$ \int_{a(x)}^xv_1^{-p'}=\int_x^{b(x)}v_1^{-p'}\qquad\textrm{и}\qquad V_1(x)^{1/p'} (\int_{a(x)}^{b(x)}v_0^p)^{1/p}=1,\tag{*}$$
где $V_1(x):=\int_{a(x)}^{b(x)}v_1^{-p'}.$ В работе рассматривается пространство $(\mathring{W}_{p}^1)'$, ассоциативное к $\mathring{W}_{p}^1$, т.е. состоящее из локально интегрируемых на $(0,\infty)$ функций $g$, удовлетворяющих условию
$$ J(g):=\sup_{0\not=f\in\mathring{W}_{p}^1}\frac{|\int_0^\infty f(x)g(x) \mathrm{d}x|}{\|f\|_{\mathring{W}_{p}^1}}<\infty. $$

Теорема. Пусть $1<p<\infty$, $g\in L_loc(0,\infty)$ и $v_0$, $v_1$ удовлетворяют условию (*). Тогда $ J(g)\approx \mathbb{G}(g)+\mathcal{G}(g)$, где
\begin{gather*} \mathbb{G}(g):= (\int_0^\infty v_1^{-p'}(t)|\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)}\int_{a(x)}^tv_1^{-p'} (y) \mathrm{d}y \mathrm{d}x |^{p'} \mathrm{d}t)^{1/p'},
\mathcal{G}(g):= (\int_0^\infty v_1^{-p'}(t) V_1^{p'}(t)  |\int_t^{a^{-1}(t)}\frac{g(x)}{V_1(x)}  \mathrm{d}x|^{p'} \mathrm{d}t)^{1/p'}. \end{gather*}
Здесь $a^{-1}$ и $b^{-1}$ обозначают функции, обратные к $a$ и $b$.
Утверждение теоремы существенно усиливает соответствующие результаты работ [1], [2].

Материалы: abstract.pdf (168.0 Kb)

Список литературы
  1. R. Oinarov, “Boundedness of integral operators from weighted Sobolev space to weighted Lebesgue space”, Complex Var. Elliptic Eq., 56 (2011), 1021–1038  crossref  mathscinet  zmath  isi
  2. S. P. Eveson, V. D. Stepanov, E. P. Ushakova, “A duality principle in weighted Sobolev spaces on the real line”, Math. Nachr., 2015


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017