RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
29 мая 2015 г. 11:40, Пленарные доклады, г. Москва, МИАН
 


The limit spectral graph and eingenvalue asymptotic distribution of the Sturm-Liouville problem with polynomical potential

[Предельный спектральный граф и асимптотика собственных значений задачи Штурма–Лиувилля с потенциалом многочленом]

А. А. Шкаликов, С. Н. Туманов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Видеозаписи:
MP4 1,288.2 Mb
MP4 326.8 Mb
Материалы:
Adobe PDF 186.5 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:267
Видеофайлы:100
Материалы:36

A. A. Shkalikov, S. N. Tumanov
Фотогалерея


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Исследуется предельное распределение дискретного спектра задачи на собственные значения для дифференциального уравнения второго порядка при большом значении параметра $k\to+\infty$:
$$ -y"(x)+k^2 P(x,\lambda)y(x)=0 $$
с краевыми условиями $y(a)=y(b)=0$.
Здесь $a$ и $b$ вещественные числа (допускаются значения $\pm\infty$), $\lambda$ — обобщенный спектральный параметр, лежащий в некоторой односвязной области $G$ комплексной плоскости; $k$ — положительное число; $P$ — многочлен степени $n\ge1$ от $x$ с коэффициентами аналитически зависящими от спектрального параметра $\lambda\in G$.
$$ P(x,\lambda)=a_n(\lambda)x^n+a_{n-1}(\lambda)x^{n-1}+\cdots +a_1(\lambda)x+a_0(\lambda). $$

Дополнительно потребуем от $P$: старший коэффициент $a_n(\lambda)$ не имеет нулей в $G$; нули $x_j$, $j=1,…,n$ многочлена $P$ — разные функции $\lambda$, либо различные ростки одной функции, аналитические в $G$ за исключением конечного числа алгебраических точек ветвления, естественным образом возникающих в кратных нулях $P$.
Для произвольного комплекса Стокса $\Gamma$ назовем точки $a$ и $b$ связанными относительно $\Gamma$, если существует соединяющий их путь, не проходящий через точки поворота этого комплекса, имеющий с $\Gamma$ не более одной общей точки. Комплексы, относительно которых $a$ и $b$ связанны отнесем к I-му типу. Все оставшиеся — ко II-му типу.
Значения $\lambda$, при которых могут возникать многоточечные (двухточечные и более) комплексы Стокса называются сингулярными кривыми:
$$ \lambda\in\gamma_s\Leftrightarrow\mathrm{Re}\int_{x_n(\lambda)}^{x_l(\lambda)}\sqrt{P(z,\lambda)} dz=0, $$
где $x_j(\lambda)$ — различные точки поворота.
Значения $\lambda$, при которых одна из точек $a$ или $b$ попадает на линии Стокса называются критическими кривыми:
$$ \lambda\in\gamma_c\Leftrightarrow\mathrm{Re}\int_{x_j(\lambda)}^{a}\sqrt{P(z,\lambda)} dz=0, либо \mathrm{Re}\int_{x_j(\lambda)}^{b}\sqrt{P(z,\lambda)} dz=0. $$

Введем еще так называемые регулярные предельные кривые уравнением:
$$ \lambda\in\gamma_r\Leftrightarrow\mathrm{Re}\int_{a}^{b}\sqrt{P(z,\lambda)} dz=0. $$
Theorem. Для любого компакта $g\in G$, не содержащего точек $\gamma_s\cup\gamma_c\cup\gamma_r$ найдется $k_0>0$ такое, что при $k>k_0$ в $g$ не будет содержаться собственных значений. В случае общего положения собственные значения концентрируются вдоль $\gamma_r$ и тех частей $\gamma_s$ и $\gamma_c$, при которых граф Стокса содержит комплексы II-го типа. В этом случае справедливы асимптотики на собственные значения вдоль соответствующих частей кривых при $k\to+\infty$:
\begin{gather*} \frac{k}{\pi}\int_{x_n}^{x_l(\lambda_m)}\sqrt{P(z,\lambda_m)} dz=i(m-\frac{1}{2})+O(\frac{1}{k}),\quadв окрестности \gamma_s;
\frac{k}{\pi}\int_{x_n}^{a(b)}\sqrt{P(z,\lambda_m)} dz=i(m-\frac{1}{4})+O(\frac{1}{k}),\quadв окрестности \gamma_c;
\frac{k}{\pi}\int_{a}^{b}\sqrt{P(z,\lambda_m)} dz=im+O(\frac{1}{k}),\quadв окрестности \gamma_r; \end{gather*}


Материалы: abstract.pdf (186.5 Kb)

Язык доклада: английский

Список литературы
  1. Ю. Н. Днестровский, Д. П. Костомаров, “Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач”, Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 4:2 (1964), 267–277  mathnet  mathscinet
  2. А. В. Дьяченко, А. А. Шкаликов, “О модельной задаче для уравнения Орра–Зоммерфельда с линейным профилем”, Функц. анализ и его прил., 36:3 (2002), 71–75  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  3. С. Н. Туманов, А. А. Шкаликов, “О локализации спектра задачи Орра–Зоммерфельда для больших чисел Рейнольдса”, Матем. заметки, 72:4 (2002), 561–569  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  4. С. Н. Туманов, А. А. Шкаликов, “О предельном поведении спектра модельной задачи для уравнения Орра–Зоммерфельда с профилем Пуазейля”, Изв. РАН. Сер. матем., 66:4 (2002), 177–204  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  5. М. В. Федорюк, Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, Наука, Москва, 1983  mathscinet
  6. М. В. Федорюк, “Топология линий Стокса уравнений второго порядка”, Изв. АН СССР. Сер. матем., 29:3 (1965), 645–656  mathnet  mathscinet  zmath
  7. А. А. Шкаликов, “О предельном поведении спектра при больших значениях параметра одной модельной задачи”, Матем. заметки, 62:6 (1997), 950–953  mathnet  crossref  mathscinet  zmath
  8. А. А. Шкаликов, “Cпектральные портреты оператора Орра–Зоммерфельда при больших числах Рейнольдса”, СМФН, 3 (2003), 89–112  mathnet  mathscinet  zmath


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017