RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
27 мая 2015 г. 17:05, Дифференциальные уравнения II, г. Москва, МИАН
 


Спектр и формула следа возмущения одного двумерного оператора в полосе

З. Ю. Фазуллин, И. Г. Нугаева

Башкирский государственный университет
Материалы:
Adobe PDF 175.2 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:64
Материалы:23

Аннотация: Рассмотрим оператор $L=L_0+V$ в пространстве $\mathcal L_2 (\Pi)$, где $\Pi=\{ (x;y):x\in\mathbb R, y\in [0;\pi] \}$, $L_0$ – оператор задачи Дирихле: $L_0=-\frac{\partial^2}{\partial x^2}+x^2-\frac{\partial^2}{\partial y^2}$, $V$ – оператор умножения в пространстве $\mathcal L_2 (\Pi)$ на ограниченную измеримую вещественную функцию $V(x,y)$, финитную по переменной $x$ (т.е. для некоторого $r>0$ $V(x,y)\equiv 0$, $|x|\ge r$).
Пусть $P^{(1)}_s$, $P^{(2)}_l$ – ортопроекторы на собственные подпространства одномерных операторов Лапласа задачи Дирихле и гармонического осциллятора, соответствующие собственным числам $s^2$, $s=1,2,…$, и $2l+1,$ $l=0,1,…$, соответственно.
Теорема 1. Спектр оператора $L_0$ состоит из собственных чисел $\lambda_n=n$, $n\in\mathbb N\setminus\{ 1;3\}$ с кратностями
$$ \nu_n=\begin{cases} [ \frac{\sqrt{n}}{2}],&если ( 2[\frac{\sqrt{n}}{2}])^2\le \lambda_n\leq( 2[\frac{\sqrt{n}}{2}]+1)^2,
[\frac{\sqrt{n}}{2}]+\frac{(-1)^n+1}{2},&если (2[\frac{\sqrt{n}}{2}]+1)^2< \lambda_n<( 2[\frac{\sqrt{n}}{2}]+2)^2, \end{cases} $$
причем $P_n=\sum\limits_{s=1}^{\nu_n} P^{(1)}_s \otimes P^{(2)}_{n/2-(s^2+1)/2}$.
Теорема 2. Пусть $V(x;y)\in C^{(2)}_0(\Pi )$, тогда для собственных чисел $\mu_i^{(n)}$, $i=1,2,…, \nu_n$, $n\in\mathbb N\setminus\{ 1;3\}$, оператора $L$ справедливо тождество
\begin{equation} \sum_{n\in\mathbb N\setminus\{ 1;3\} }( \sum_{i=1}^{\nu_n} (\lambda_n-\mu_{i}^{(n)})+\mathrm{tr}  (P_nV)) =\frac{1}{12\pi}\int_{\Pi} V^2(x,y)\mathrm{d}  x\mathrm{d}  y. \label{N378:trf-1} \end{equation}

Доказательство последней теоремы основано на методике работы [1].
Работа выполнена при поддержке гранта № 01201456408 Минобрнауки РФ.

Материалы: abstract.pdf (175.2 Kb)

Список литературы
  1. З. Ю. Фазуллин, Х. Х. Муртазин, “Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора”, Матем. сб., 192:5 (2001), 87–124  mathnet  crossref  mathscinet  zmath; Z. Yu. Fazullin, Kh. Kh. Murtazin, “Regularized trace of a two-dimensional harmonic oscillator”, Sb. Math., 192:5 (2001), 725–761  crossref  mathscinet  isi  scopus


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017