RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция по функциональным пространствам и теории приближения функций, посвященная 110-летию со дня рождения академика С. М. Никольского
25 мая 2015 г. 15:45, Дифференциальные уравнения, г. Москва, МИАН
 


О гладкости решений эллиптических уравнений в областях на многообразии

И. В. Цылин

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова
Материалы:
Adobe PDF 156.2 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:63
Материалы:16

Аннотация: Пусть $M$ – гладкое компактное связное многообразие без края, $\Omega \subsetneq M$ – подобласть. Исследуется гладкость решений задачи с граничными условиями Дирихле
\begin{equation} \label{N199:prob} \mathcal{A}u = f, \qquad f \in H^{-m}(\Omega) \end{equation}
где эллиптический оператор $\mathcal{A}$ строится (согласно конструкции Фридрихса) по секториальной полуторалинейной форме $\Phi$, порожденной дифференциальным выражением $\mathcal{A}_0$ порядка $2m$, $m \in \mathbb{N}$; решения понимаются в слабом смысле.
При $m = 1$, для любой области $\Omega$ и произвольной правой части $f \in L_2(\Omega)$ решение задачи (\ref{N199:prob}) принадлежат пространству $H^2_{loc}(\Omega)$. Отказаться от локальности в этом утверждении нельзя если не наложены дополнительные условия на область $\Omega$, например, ее выпуклость или принадлежность границы классу $C^{1,1}$ (см. [2]).
Для ограниченных областей $\Omega \subset \mathbb{R}^d$ с липшицевой границей, в случае оператора Лапласа, Jerison и Kenig установили эффект повышения гладкости (см. [3]); а именно, если $f\in H^{-1+s}(\Omega)$, $s\in(0,1/2)$, то решение задачи (\ref{N199:prob}) принадлежит $H^{1+s}(\Omega)$. Savaré разработал метод, позволивший обобщить это утверждение на эллиптические операторы второго порядка с липшицевыми коэффициентами.
Продолжая исследование, намечанное в [7], и развивая подход, предложенный в работах [5], [6], удалось сохранить эффект повышения гладкости (относительно правой части) решения задачи (\ref{N199:prob}) в случае областей $\Omega$ с гельдеровой границей и весьма слабых ограничениях на коэффициенты дифференцивльного выражения $\mathcal{A}_0$.
Применяемая техника использует пространства Никольского и Бесова, причем как их интерполяционные свойства, так и теоремы вложения [1], [4].

Материалы: abstract.pdf (156.2 Kb)

Список литературы
  1. О. В. Бесов, В. П. Ильин, С. М. Никольский, Интегральные представления функций и теоремы вложения, Наука, М., 1996
  2. P. Grisvard, Elliptic Problems in Nonsmooth Domains, Pitman, London, 1985  zmath
  3. D. Jerison, C. Kenig, “Boundary value problems on Lipschitz domains”, Studies in partial differential equations, 23 (1982), 1–68  mathscinet  zmath
  4. С. М. Никольский, Приближение функций многих переменных и теоремы вложения, Наука, М., 1977  mathscinet
  5. G. Savaré, “Regularity and perturbation results for elliptic equations on Lipschitz”, J. Funct. Anal., 152 (1998), 176–201  crossref  zmath  scopus
  6. G. Savaré, G. Schimperna, “Domain perturbations estimates for the solutions of second order elliptic equations”, J. Math. Pures Appl., 81:11 (2002), 1071–1112  crossref  mathscinet  zmath  scopus
  7. А. М. Степин, И. В. Цылин, “О краевых задачах для эллиптических операторов в случае областей на многообразиях”, Доклады Академии наук, 2015 (в печати)


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017