RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2015
25 июля 2015 г. 17:15, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Вероятность пробоя на треугольной решетке – и при чем тут дискретный комплексный анализ? Занятие 3

В. А. Клепцын
Видеозаписи:
Flash Video 502.6 Mb
Flash Video 3,011.9 Mb
MP4 502.6 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:105
Видеофайлы:35

В. А. Клепцын


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Рассмотрим прямоугольник, составленный из маленьких правильных шестиугольных плиток. Подкинем для каждой из этих плиток монетку, и, если выпадет орел, объявим ее открытой, а иначе закрытой. С какой (примерно) вероятностью от левого края прямоугольника до правого можно дойти путем, проходящим только по открытым плиткам?

Этим и многими другими схожими вопросами занимается теория протекания – историю которой принято отсчитывать с работы 1957 года, в которой Хаммерсли и Броадбент изучали прохождение газа через угольный фильтр противогаза для шахтеров.
Ответ на вопрос о вероятности пробоя дается (на первый взгляд пугающей) формулой Карди, предсказанной им в 1991-м из соображений конформной теории поля. Строго эта формула – в гораздо более приятно выглядящей переформулировке Л. Карлесона – была доказана лишь десять лет спустя С. К. Смирновым в его работах 2001-го года (одних из тех, за которые в 2010-м он получил премию Филдса).
В нашем курсе мы, хоть и не в деталях, обсудим доказательство этой формулы – опирающееся на такую удивительную вещь, как дискретный комплексный анализ. Начальную часть последнего мы сначала построим, а затем ею воспользуемся; интересно, что некоторые утверждения в дискретном анализе доказываются проще, чем их непрерывные аналоги.
Наконец, мы обсудим описание формы границы связной компоненты (точнее, границы между двумя большими связными компонентами открытых и закрытых плиток). Оказывается, что такие границы ведут себя, как фракталы — в частности, в прямоугольнике с размерами порядка $N$ путь пробоя, скорее всего, будет состоять из примерно (по порядку роста) $N^{4/3}$ плиток. Вопрос о поведении границы – дорога, ведущая к уравнению эволюции Шрамма–Левнера, при разных параметрах (доказано или гипотетически) описывающему случайные пути во многих задачах: блуждания со стиранием петель, двойных димеров, границы между областями для критического намагничивания, и многих других.
Для понимания курса должно быть достаточно хорошего знакомства с комплексными числами, и интуитивного понимания теории вероятностей. Я надеюсь сделать этот курс полностью доступным студентам и интересующимся одиннадцатиклассникам.

Программа курса
  • Задача пробоя на решетке (фильтр противогаза, описание эпидемии в роще); критическая вероятность.
  • Двойственность и теорема Харриса, размеры кластеров.
  • Конформные отображения; универсальность и конформная инвариантность ответа в задаче пробоя.
  • Дискретный комплексный анализ.
  • Задача Дирихле: распределение температуры и форма мыльной пленки.
  • Доказательство формулы Карди для треугольной решетки.
  • Вопрос о форме границы и уравнение Шрамма–Левнера.


Website: http://www.mccme.ru/dubna/2015/courses/kleptsyn.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017