RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2015
25 июля 2015 г. 12:45, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Римановы поверхности и модулярные формы. Занятие 3

В. В. Успенский
Видеозаписи:
Flash Video 474.6 Mb
Flash Video 2,844.1 Mb
MP4 474.6 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:184
Видеофайлы:123

В. В. Успенский


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Курс посвящен римановым поверхностям, модулярным формам и некоторым их приложениям. Эти фундаментальные понятия, играющие важную роль в самых разных разделах математики, можно определить при помощи верхней полуплоскости – множества комплексных чисел с положительной мнимой частью, – которую мы будем рассматривать как модель Пуанкаре плоскости Лобачевского.
Соответствующие определения будут даны в курсе. Будет показано, что движения плоскости Лобачевского совпадают с дробно-линейным преобразованиями полуплоскости, а дискретные группы движений приводят к замощениям плоскости Лобачевского конгруэнтными многоугольниками (сторонами которых, с точки зрения евклидовой геометрии, являются дуги окружностей). Отождествляя между собой подходящие стороны одного из таких многоугольников (или отождествляя точки, лежащие на одной орбите относительно заданной дискретной группы движений), мы получаем риманову поверхность («сферу с ручками» с числом ручек не менее двух).
Мы увидим, что подгруппам группы целочисленных матриц размера $2\times 2$ с определителем единица соответствуют римановы поверхности, и изучение функций на таких поверхностях приводит к понятию модулярной формы. Модулярные формы – это функции на верхней полуплоскости, удовлетворяющие определенным функциональным уравнениям, связанным с рассматриваемой группой.
Этот подход к понятиям римановой поверхности и модулярной формы будет подробно описан в начале курса.
Затем мы увидим, что некоторые поразительные числовые тождества получают естественное объяснение на языке модулярных форм. Общий принцип здесь такой: модулярных форм мало, поэтому между ними можно ожидать нетривиальных соотношений.
Модулярные формы возникают в самых разных областях математики. Например, Великая Теорема Ферма была доказана в качестве следствия гипотезы Таниямы–Шимуры–Вейля (ныне имееющей статус теоремы) о связи эллиптических кривых с модулярными формами.
Мы рассмотрим некоторые применения модулярных форм. В частности, мы докажем единственность решетки Лича – замечательной решетки в 24-мерном пространстве.
От слушателей предполагается знакомство с комплексными числами и началами анализа.

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2015/courses/vvuspenski.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017