Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика», 2015
21 июля 2015 г. 15:30, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Введение в двенадцатую проблему Гильберта. Занятие 1

М. Ю. Розенблюм
Видеозаписи:
Flash Video 509.3 Mb
Flash Video 3,052.2 Mb
MP4 509.3 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:536
Видеофайлы:267

М. Ю. Розенблюм


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Явно построить конечное расширение поля – означает, в сущности, свести задачу нахождения решений уравнения высокой степени к более простой задаче.
Исторически первым примером была проблема решения уравнений в радикалах. Окончательный ответ был дан Галуа в первой половине XIX века. Обнаружилось, что уравнение решается в радикалах, если его группа Галуа разрешима. Однако чтобы добраться до решений, приходится последовательно извлекать корни, а распараллелить процедуру в общем случае невозможно.
Простейший подкласс разрешимых групп – коммутативные (или абелевы) группы. Случай абелевых расширений исследовал Куммер. Его конструкция работает, если поле коэффициентов содержит достаточно много корней из единицы (тем больше, чем выше степень уравнения), и поэтому применима не ко всем абелевым расширениям.
Для того, чтобы избавиться от этого условия и универсально сконструировать все абелевы расширения поля $\mathbb Q$, понадобились десятилетия. Ответ дала теорема Кронекера–Вебера, утверждающая, что такие расширения порождаются корнями из единицы или, что тоже самое, значениями $\exp(2\pi iz)$ в рациональных $z$.
В своём знаменитом докладе на математическом конгрессе в 1900 году Гильберт сформулировал общую задачу: построить абелевы расширения любого конечного расширения поля $\mathbb Q$ по аналогии с предыдущей теоремой.
Очередным шагом стала теория комплексного умножения эллиптических кривых, позволившая обосновать исследованную ещё Кронекером конструкцию и решить проблему для мнимоквадратичных расширений $\mathbb Q$.
В курсе лекций вышеизложенное будет объяснено с разумной мерой детализации, после чего будет дан обзор современного состояния проблемы.

Программа курса
Теория Галуа. Расширения Куммера. Идеалы в кольцах алгебраических чисел. Разложение расширений. Ветвление. Поля классов. Закон взаимности. Эллиптические функции. Комплексное умножение. СМ-поля. Гипотезы Старка.

Предполагается, что слушатели знают простейшие свойства групп, колец и полей, и слыхали про $p$-адические числа и функции комплексной переменной.

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2015/courses/rozenblyum.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021